卷三十二
钦定四库全书
厯算全书卷三十二
宣城梅文鼎撰
筹算四之五
开带纵平方法
勿庵氏曰算有九极于勾股勾股出于圆方故少广旁要相资为用也然开平方以御勾股而纵法以御和较古有益积减积翻积诸术参伍错综尽神通变要之皆带纵一法而已
【平方者长濶相等如碁局也平方带纵者直田也长多于濶之数谓
之纵纵之濶如平方之数其长则如纵之数纵与方相乘得纵积以
加方积成一直田形积也】
平方与方纵两形初商之积也两
亷一隅一亷纵者次商之积也亷
有二故倍之亷之纵只一故不倍
也
如前图除积不尽则有第三商如
此图虽三商亦只倍亷而不倍纵
四商以上仿此详之
用法曰先以积列位如法作防从单位起隔位防之视防在首位独商之防在次位合两位商之皆命为实次以带纵数用筹与平方筹并列之各为法
视平方筹积数有小于实者用其方数为初商用其积数为方积【初商自乘之数也】 即视纵筹与初商同行之积数用之为纵积【初商乘纵之数也如初商一则用纵筹第一行】兼方积纵积两数以减原实而定初商【必原实中兼此两积之数则初商无悮矣故曰定】 若原实不及减改而商之如前求得两积以减之为初商定数 不及减又改商之及减而止若应商十数因无纵积改商单九是初商空也则于初商之位作○而纪其改商之数于○下若次商者然【初商应是百而改九十应是千而改九百并同】
定位法曰既得初商视所作原实之防共有几何以定其得数之位以知其有次商与否【如一防则得数是单而无次商二防则得数是十而有次商之类皆如平方法取之】
次商法曰依前定位知初商未是单数而减积又有未尽是有次商也 次商之法倍初商加入纵为亷法用筹除之 视亷法筹行内之积数有小于余实者用为亷积以减余实用其行数为次商 就以次商自乘为隅积以减余实以定次商【必余实内有亷隅两积则次商无误】不及减者改商之及减而止皆如平方法
商三次以上并同次商
命分法曰若得数已是单而有不尽则以法命之 法以所商数倍之加入纵为亷又加隅一为命分不尽之数为得分
亦有得数非单而余实少在亷法以下不能商作单一者亦以法命之 法即以亷法加隅一为命分
列商数法曰依平方法视所作防而以最上一防为主若初商五以上【不论单五或五十或五千或五百并同】皆用进法书其其得数于防之上两位则不论纵之多少也
若初商四以下【亦不论单十百千】则以纵之多少而为之进退法以纵折半加入初商【单从单十从十百千各以类加】若满五以上者变从进法书于防之上两位【如初商四而纵有二初商三而纵有四之类】
若纵数少虽加之而仍不满五数者仍用常法书其得数于防之上一位【如初商四而纵只有一初商三而纵只有二只有二之类】总而言之所商单数皆书于亷法之上一位故初商得数有进退之法乃豫为亷法之地以居次商也初商五以上倍之则十虽无纵加亷法已进位矣初商虽四以下而以半纵加之满五则其倍之加纵而为亷法也亦满十而进位矣亷法进位故初商必进两位书也若加半纵仍不满五则其亷法无进位矣故初商只进一位而书之葢豫算所商单数已在亷法之上也
又初商若得单数其亷法即为命分凡商得单数必在命分之上一位以此考之庶无谬误
假如有直田积六十三步但云濶不及长二步
列位【依平方法】作防【从单位起】
视防在次位合六十三步商之为实次以平方筹与纵二筹平列之各为法
视平方筹积有【四九】小于【六三】其方七也商作单
七【用进法书于防之上两位 一防知所商是单】
即视带纵筹第七行积数【一四】用为纵积
并方积【四十九】纵积【一十四】共六十三除实尽【此亦偶除尽耳设不尽其命分必是十数故前商七之数必进书之以存其位】
定为濶七步 加纵二步得长九步
凡得数在五以上用进法书于防之上两位此其例也
假如有直田六百三十步但云长多濶二步
列位【无单位补作圈】作防
视防在首位独商之以○六百步
为实
以平方带纵二各用筹为法
视平方筹积数有【○四】小于【○六】
其方二商二十步【二防故初商十】自乘得方积【四百步】随视纵筹第二行是【四】得纵积【四十步】并两积共四百四十步以减原实余一百九十步再商之【初商十故有次商也商数二十以纵折半得单一加之共二十一仍不满五数故只用常法书于防之上一位】
次以初商【二十步】倍之【四十步】加纵【二步】共四十二步为亷法【用第四第二两筹】
合视两筹第四行积数【一六八】小于【一九○】次商【四】减亷积一百六十八步余二十二步【所减首位不空次商故书本位】次以次商【四步】为隅法自乘得【一十六步】为隅积用减余实不尽六步以法命之【初商虽不进位所得次商单数已在命分之上一位矣列商数法妙在于此】倍所商【二十四步】为【四十八步】加纵【二步】又加隅【一步】共五十一步为命分
命为濶【二十四步】又【五十一分步之六】加纵【二步】得长【二十六步】又【五十一分歩之六】
凡得数在四以下以半纵加之仍不满五则只用常法书于防之上一位此其例也
假如有直田五亩但云长多濶八十八步
列位【以亩法二百四十通之得一千二百步十步单步空补作两圈】作防
视防在次位合商之以一千二
百步为实纵有两位用两筹与
平方筹并列各为法
先视平方筹有【○九】小于【一二】宜商三十【二防商十】因有纵改商二
十其方积四百步纵积一千七
百六十步【初商十与纵相乘故纵单数皆成十数】兼两积共二千一百六十步大于实不及减所商有误抹去之
改商【一十步】其方积【一百步】其纵积【八百八十步】并两积共除实九百八十步余二百二十步再为实以求次商【初商十故有次商也】
【纵折半四十四步加初商一十步共五十四步故变用进法】
次以初商【一十步】倍之【二十步】加纵【八十八步】共一百○八步为亷法【用第一空位第八三筹】
合视筹第二行积【二一六】小于【二二○】次商【二步】于初商【一十步】之下减亷积一百一十六余四步【所减首位○故进书之初商豫进正为此也】
次以次商【二步】自乘得四步为隅积除实尽
定为濶一十二步加纵【八十八步】得长一百步
假如有直田一十二亩半但云长多濶七十步
列位【以亩法二百四十通之得三千步百十单皆作圈】作防
视防在次位以三千○百步为实
以平方带纵七十各用筹为法
先视平方筹积有二五小于【三○】宜
商【五十】因纵改商【四十步】其方积一
千六百步其纵积二千八百步共四
千四百步大于实不及减抹去之
改商【三十步】其方积【九百步】其纵积【二千一百步】共三千步除实尽
【纵七十折半三十五加初商三十共六十五是五以上也故用进法书商三于防上两位假有余实则当再商或命之以分今虽商尽当存其位 命分者亷法加隅一也倍初商加纵共一百三十是原实百者亷法之位也进一位乃单位初商不进两位何以容单数】
凡开得平方三十步为田濶 加纵七十步共一百步为长
假如有直田七亩但云长多濶六十步
列位【以亩法二百四十通之得一千六百八十步单位空作圈】作防
视防在次位合商之以一千六百步
为实
以平方带纵六十步用筹各为法
先视平方筹有一六与实同宜商四
十【二防初商是十】因带纵改商三十步其方
积【九百步】纵积【一千八百步】共二千
七百步大于实不及减抹去之
改商【二十步】其方积【四百步】纵积【一千二百步】共减一千六百步余八十步再商之
【纵折半三十加初商共五十故进书之】
【假余实满命分一百○一步即当商一步故初商豫进以居次商今次商虽空当存○位故也】
次以初商【二十步】倍之【四十步】加入纵六十步共一百步为亷法 亷法大于余实不及减次商作○其余实以法命之 法以亷法加隅一为命分
命为濶【二十步】又【一百○一分步之八十】加纵为长【八十步】又【一百○一分步之八十】
假如有直田四亩但云长多濶九十步
列位【以亩法通之得九百六十步】作防
视防在首位独商之以○九百为实
以平方带纵九十步各用筹为法
先视平方筹积有【○九】与实同宜
商三十步【二防故初商十】因带纵改商二
十步其方积【四百步】纵积【一千八】
【百步】不及减又改商一十歩其方积【一百步】纵积【九百步】共一千步仍不及减 此有二防宜商十步今改商一十仍不及减是初商十位空也
【纵九十折半四十五加初商十步满五十以上故商一进书防之上两位】
改商单九步其方积【八十一步】纵积【八百一十步】共八百九十一步以减实余六十九步不尽【此宜商十数者变商单步故初商之位作○而以改商之九步书于○位下如次商然也盖必如此书之所商单数乃在命分之上一位也】
商数已得单步而有不尽以法命之以商九步倍之加纵九十步共一百○八步更加隅一步共一百○九步为命分
命为濶九步又【一百○九分步之六十九】 加纵为长九十九步又【一百○九分步之六十九】
以上四则乃纵多进位之法也凡得数虽四以下以半纵加之满五即用进法书于防之上两位此其例也
开带纵立方法【筹算五】
勿庵氏曰泰西家説勾股开方甚详然未有带纵之术同文算指取中算补之其论带纵平方有十一种而于立方带纵终缺然也程汝思统宗所载又皆两纵之相同者惟难题堆垜还原有二例只一可用其一强合而已非立术本意又不附少广而杂见于均输虽有善学何从而辨之兹因筹算稍以鄙意完其缺义取晓畅不厌烦复使得其意者可施之他率不穷云尔
凡立方带纵有三
一只带一纵
如云长多方若干或高多方若干是也【即同高】
一带两纵而纵数相同
如云长不及方若干高不及方若干是也【此方多数为纵】
一带两纵而纵数又不相同
如云长多濶若干濶又多高若干是也
大约带一纵者只有纵数而已带两纵者有纵亷又有纵方故其术不同
带一纵图三
此长多于方 此高多于方
也为横纵横 也为直纵直
纵之形濶与 纵之形长濶
高等如其方 相等如其方
其厚也如其 其高也如其
纵所设 纵所设
俱立方一纵形一合为长立方形
如图立方形方纵形合者初商
也平亷三内带纵者二长亷三
内带纵者一小隅一此七者次
商也
平亷所带之纵长与立方等厚
与次商等其高也则如纵所设
长亷所带之纵两头横直等
皆如次商其高也如纵所设
用法曰以积列位乃作防从单位起隔两位防之防毕视积首位有防独商之以首位为初商之实首位无防以首位合有防之位商之 防在次位以首两位为初商之实 防在第三位以首三位为初商之实 皆同立方法
先视立方筹积数有小于初商之实者用其方数为初商【定位法合计所作防共有若干一防者商单数二防则商十数每一防进一位皆如立方】用其积数为初商立方积【定位法视初商方数若初商单数其积亦尽于单位若初商十数其积乃尽于千位每初商进一位其积进三位亦可以防计之皆如立方】
次以初商自乘以乘纵数为纵积
合计立方积纵积共数以减原积而定初商【若初商无误者原实中必兼此两积】命初商为方数加纵数为高数【或长数皆依先所设】不及减者改商之及减而止
次商法曰依前定位知初商是何等【或单十百千等】若初商未是单数而减积又有不尽是有次商也
法以初商自乘而三之又以纵与初商相乘而两之共为平亷法 又法以初商三之纵倍之并其数与初商相乘得数为平亷法 或以初商加纵而倍之并初商数以乘初商为平亷法并同
又以初商三之加纵为长亷法
乃置余实列位以平亷法除之得数为次商【用筹为法除而得之】
【依除法定其位】
于是以次商乘平亷法为三平亷积 又以次商自乘以乘长亷法为三长亷积 就以次商自乘再乘为隅积 合计平亷长亷隅积共若干数以减原实【原实中兼此并积知次商无误矣】乃并初商次商所得数为方数加纵命为高数【或长数皆如先所设】合问 不及减者改商之及减而止
商三次者以初商次商所得数加纵而倍之并商得数为法仍与商得数相乘为平亷法
又以商得数三之加纵为长亷法 余并同次商
命分法曰己商至单数而有不尽则以法命之 其法以所商得数加纵倍之加所商得数以乘所商得数【如平亷】又以所商得数三之加纵【如长亷】并两数又加单一【如隅】为命分不尽之数为得分
或商数尚未是单而余实甚少在所用平亷长亷两法并数之下或仅同其数【仅同者无隅积】是无可续商也亦以法命之法即以所用平亷长亷两法并之又加隅一为命分
列商数法曰依立方法以初商之实有防者为主【即原实内最上之一防】凡初商得数必书于防之上一位乃常法也惟初商一数者用常法
有以初商得数书于防之上两位者进法也初商二三四五者用进法
有以初商得数书于防之上三位者超进法也初商六七八九者用超进之法
若纵数多亷法有进位则宜用常法者改用进法宜用进法者用超进之法宜超进者更超一位书之其法于次商时酌而定之葢次商时有三平亷法三长亷法再加隅一为命分法于原实寻命分之位为主命分上一位单数位也从此单数逆寻而上自单而十而百而千至初商位止有不合者改而进书之若与初商恰合者不必强改此法甚妙平方带纵亦可用之
若宜商一十而改单九或宜商一百而改九十凡得数退改小一等数者皆不用最上一防而以第二防论之此尤要诀【或于初商位作圈而以所商小一等数书于圈之下即可以上一防论也细考其数则同此商数列位立法之妙宜详翫之】
假如浚井计立方积七百五十四万九千八百八十八尺但云深多方八百尺 法以立方带纵为法除之列位 作防
视防在首位独商之以○
○七百万尺为初商之实
以立方筹为法 视立方筹积有○○一小于○○七商一百尺【三防故初商百商一百故用常法书于防之上一位】得立方积一百万尺【三防者方积尽百万之位 初商之方积皆尽于最上之一防】
次以初商一百尺自乘一万尺乘纵八百尺得八百万尺为纵积 并两积九百万积大于原实不及减抹去之不用改商如后图
视立方筹第九行积七二九改商九十尺得立方积七十二万九千尺【百改十故亦改用第二防第二防是十位故方积亦尽于千位】次
以初商九十尺自乘八千一
百尺乘纵八百尺得六百四
十八万尺为纵积 并两积
共七百二十万○九千尺以减原实余三十四万○八百八十八尺再商除之【初商一百今改商九十故上一防不用用第二防论之商九者书于第二防之上三位超进法也】
次用次商又法以纵八百尺加初商九十尺而倍之得一千七百八十尺并初商九十尺共一千八百七十尺用与初商九十尺相乘得一十六万八千三百尺为平亷法 又以初商九十尺三因之得二百七十尺加纵八百尺共得一千○七十尺为长亷法乃列余实以平亷为法除之【用第一第六第八第三共四等】
商九十用超进法书于第二防之上三位今以纵多致亷法进为十万故次商时应更为酌定又超一位书之然后次商单数在亷法上一位矣改如后图【亷法十万上一位单数位也今商九十不合在此位故改之】
合视筹第二行积○三三六六小于余实次商二尺于初商九十之下【所减首位是○法宜进书也初商不改而更超之何以居次商】就以次商二尺乘平亷法得三十三万六千六百尺为平亷积 又以次商二尺自乘四尺用乘长亷法得四千二百八十尺为长亷积 又以次商二尺自乘再乘得八尺为隅积 并三积共三十四万○八百八十八尺除实尽
乃以商数命为井方 加纵为井深
计开
井方九十二尺深八百九十二尺
此超进法改而更超一位也
带两纵纵数相同图二
此高不及方也方之横与直俱
多于高是为两纵两纵者纵廉
二纵方一并立方而四
立方形长濶高皆相等
纵亷形高与濶相等如其方之
数其厚也如所设纵之数
纵方形两头等皆如纵数其高也如立方之数两纵亷辅立方两面而纵方补其隅合为一短立方形
不及之数有在立方旁者观后图可互见其意
如图初商有立方有纵廉二纵方一共四形今只图其二余为平廉所掩意防之可也【此横头不及方也即前图之眠体】
次商平廉三内带一纵者二带两纵者一长廉三内带纵者二小隅一共七
平廉带一纵者濶如初商加纵为长厚如次商其带两纵者高濶皆等皆如初商加纵之数厚如次啇
长廉带纵者长如初商加纵之数其两头横直皆等皆如次商
无纵长廉长如初商两头横直等如次商
小隅横直高皆等皆如次商
用法曰先以纵倍之为纵廉【两纵并也】以纵自乘为纵方【两纵相乘】
此因两纵数同故其法如此也若两纵不同径用乘法并法矣
乃如法列位作防求初商之实
以立方筹为法求得初商方数及初商立方积【皆如立方法皆依定位法命之】
次以初商乘纵方得数为纵方积 又以初商自乘数乘纵亷得数为纵亷积
合计纵方纵亷立方之积共若干数以减原实而定初商【皆如一纵法】
命初商为高数【或深数皆如所设】加纵为方数【不及减改商之若初商未是单数则以余实求次商】
次商法曰以初商加纵倍之以乘初商高数得数 又以初商加纵自乘得数 并之共为平亷法【又法初商三之加纵以初商加纵乘之得数为平亷法亦同】
次以初商加纵倍之并初商数共为长亷法【又法初商三之纵倍之并为长亷法亦同】
乃置余实列位 以亷法位酌定初商列法而进退之以平亷为法而除余实得数为次商【皆以所减首位是○与否而为之进若退】 又法合平亷长亷两法以求次商
于是以次商乘平亷法为平亷积 又以次商自乘数乘长亷法为长亷积 又以次商自乘再乘为隅积 合计平亷长亷隅积共若干数以减余实而定初商【皆如一纵法】
【又法以次商乘长亷法为长亷法又以次商自乘为隅法并平亷长亷隅法以与次商相乘为次商亷隅共积以减余实亦同】
乃命所商数为高【或深之类如所设】加纵数命为方合问
不尽者以方倍之乘高又以方自乘【如平亷】又以方倍之并高【如长亷】又加单一【如隅】为命分
假如有方台积五百八十六万六千一百八十一尺但云高不及方一百四十尺 以带两纵立方为法除之【方者长濶等每面各多高一百四十尺】
先以纵一百四十尺倍之得二百八十尺为纵积又纵自乘之得一万九千六百尺为纵方
列位 加防
视防在首位独商之以○
○五百万尺为初商之实
视立方积有○○一小于
○○五商一百尺【三防故商百尺】得立方积一百万尺【商一数宜用常法书于防之上一位今因纵多致亷法升为十万法上一位为单单上一位为十今初商是百尺故改用进法书之亷法之升见后】
就以初商一百尺乘纵方得一百九十六万尺为纵方积
又以初商一百自乘一万乘纵亷得二百八十万尺为纵亷积
合计立方纵方纵亷积共五百七十六万尺以减原实余一十万○六千一百八十一尺【初商百尺宜有续商】初商一百尺高也 加纵共二百四十尺方也次以方倍之四百八十尺用乘高数得四万八千尺又以方自乘之得五万七千六百尺并之得一十万○五千六百尺为平亷法
又以方倍之并高得五百八十尺为长亷法
乃列余实 以亷法酌定初商改进一位书之
以平亷法用筹除余实
视筹第一行○一○五六
小于余实次商一尺于初
商一百尺之隔位【所减是○一○五六首位○宜进书然犹与初商隔位故知为单一尺】 就以次商一尺乘平亷法如故又以次商一尺自乘以乘长亷法亦如故就命为平亷长亷积 又以次商自乘再乘仍得一尺如故 合计三积共一十万○六千一百八十一尺除实尽
乃以所商数命为台高 加纵为方
计开
台高一百○一尺 方二百四十一尺
此常法改用进法也
假如有方池积五十万丈但云深不及方五十尺 先以纵【五十】尺倍之一百为纵亷 又纵自乘之得【二千五百】尺为纵方
列位 加防
视防在第三位合商之以五十
万○○尺为初商之实
视立方筹有三四三小于五○
○宜商七十尺【二防商十尺】因纵改商六十尺得立方积二十一万六千尺 次以初商六十尺自乘三千六百尺用乘纵亷一百尺得三十六万尺已大于实不及减不必求纵方积矣 改商五十尺用筹求得立方积一十二万五千尺
就以初商五十尺乘纵方得纵方积亦一十二万五千尺 又以初商五十尺自乘二千五百尺用乘纵亷得纵亷积二十五万尺 并三积共五十万尺除实尽 以商数命为池深 加纵为方
计开 池深五十尺 方一百尺
此进法改为超进也【假有次商则其平亷法二万尺矣假有命分则其命分二万○二百五十一矣】 亦有高与长同而濶不及数者准此求之但以初商命为濶而加纵为高与长
带两纵纵数不相同图二
此长多于濶而高又多于
长也是为两纵而又不相
同凡为大纵亷小纵亷各
一纵方一并立方形而四
立方形长濶高相等
大纵亷横直等如其方而
高如大纵 小纵亷高濶
等如其方而厚如小纵
纵方形之两头高如大纵厚
如小纵其长也则如立方大
纵 小纵以辅立方之两
面而纵方补其阙合为一长
立方形如图初
商有立方有大纵廉小纵廉
纵方各一共四只图其二余
为平廉所掩也次商平廉三
内
带小纵者一带大纵者一带
两纵者一长廉【在初商大纵立方之
背面】三内带小纵
者一带大纵者一小隅一共
七在初商
大纵立方之
带小纵平亷濶如初商长如初商加小纵之数高如次商
带大纵平亷濶如初商高如初商加大纵之数厚如次商
带两纵平亷濶如初商加小纵之数高如初商加大纵之数厚如次商
带小纵长亷长如初商加小纵之数 带大纵长亷高如初商加大纵之数 无纵长亷长如初商数其两头横直皆如次商之数
小隅横直高皆如次商之数
用法曰以两纵相并为纵亷 以两纵相乘为纵方列位作防求初商之实 以立方筹求得初商立方积 以初商求得纵方纵亷两积 皆如前法乃以初商命为濶 各加纵命为长为高
求次商者以初商长濶高维乘得数而并之为平亷法
又以初商长濶高并之为长亷法
乃置余实列位【以平亷酌定初商之位】以平亷为法求次商及平亷积长亷积隅积以减余实乃命所商为濶各以纵加之为高为长【如所设】皆如前法
不尽者以所商长濶高维乘并之【如平亷】又以长濶高并之【如长亷】又加单一【如隅】为命分
假如有长立方形积九十尺但云高多濶三尺长多濶二尺
先以两纵相并五尺为纵亷 以两纵相乘六尺为纵方
列位 作防
视防在第二位合商之以○九十
○尺为初商之实
乃视立方筹有○六四小于○九○宜商四八因有纵改商三尺得二十七尺为立方积【原实只一防故初商是单商三故书于防之上两位用进法也】
次以初商三尺自乘九尺乘纵亷得四十五尺为纵亷积
又以初商三尺乘纵方得一十八尺为纵方积并三积共九十尺除实尽
乃以初商命为濶 各加纵为高为长
计开
濶三尺 长五尺 高六尺
假如有立方积一千六百二十尺但云长多濶六尺高多濶三尺
先以两纵相并九尺为纵亷 以两纵相乘一十八尺为纵方
列位 作防
视防在首位独商之以○○一千
尺为初商之实
乃视立方筹有○○一与实同商一十尺【二防商十】得立方积一千尺次以初商一十尺自乘一百尺乘纵亷得九百尺为纵亷积又以初商一十尺乘纵方得一百八十尺为纵方积 合计之共二千○八十尺大于实不及减【商一十故用常法书于防之上一位】改商九尺得七百二十九尺为立方积【十变为单则上一防不用用第二防故商九书于第二防之上两位用超进法也】
次以初商九尺自乘八十一乘纵亷亦得七百二十九尺为纵亷积
次以初商九尺乘纵方得一百六十二尺为纵方积并三积共一千六百二十尺除实尽
乃以商数命为濶 各加纵为长为高
计开
濶九尺 长一十五尺 高一十二尺
假如有长立方积六万四千尺但云长多濶五尺高又多长一尺
先以长多五尺高多六尺并之得【十十】为纵亷 又以五尺六尺相乘三十为纵方
【解曰长多濶五尺高又多长一尺是高多濶六尺也】
列位 作防
视防在第二位合商之以○六
万四千尺为初商之实
视立方筹有○六四与实同宜
商四十尺因有纵改商三十尺【二防故商十尺】得二万七千尺为立方积【商三十故书于防之上两位用进法也】
次以初商三十尺自乘九百尺乘纵亷得九千九百尺为纵亷积
次以初商三十尺乘纵方得九百尺为纵方积并三积共三万七千八百尺以减原实余二万六千二百尺再商之【初商十宜有次商】
初商三十尺濶也 加纵五尺共三十五尺长也又加一尺共三十六尺高也
乃以初商长濶高维乘之
濶乘长得一千○五十尺 高乘濶得一千○八十尺 长乘高得一千二百六十尺
并三维乘数共三千三百九十尺为平亷法【又法并长与高乘濶又以高乘长并之亦同】
次以初商长濶高并之共一百○一尺为长亷法【又法初商三之加两纵亦同】
乃以平亷用筹为法以余实列位除之
如后图合视筹第六行是二○三四小于余实次商六尺【所减首位不空故书本位】得二万○三百四十尺为平亷积【次商乘平亷法也】
次以次商六尺自乘三十六尺乘长亷法得三千六百三十六尺为长亷积又以次商六尺自乘再乘得二百一十六尺为隅积
并三积共二万四千一百九十二尺以减余实余二千○○八不尽以法命之
法以初商濶高长各加次商为濶高长而维乘之濶乘长得一千四百七十六尺 高乘濶得一千五百一十二尺 长乘高得一千七百二十二尺
并得四千七百一十尺【如平亷】又并濶高长得一百一十九尺【如长亷】又加一尺【如隅】共得四千八百三十尺为命分不尽之数为得分
命为四千八百三十分尺之二千○○八即奇数也计开
濶三十六尺有奇【音基】 长四十一尺有奇高四十二尺有奇
假如有长立方形积一十万○一千尺但云长多濶五尺高多濶六尺
先以两纵并得一十一尺为纵亷
以两纵乘得三十尺为纵方
列位 作防
视防在第三位合三位商之以
一十万○一千为初商之实
乃视立方筹有○六四小于一
○一商四十尺【二防商十】得六万四千尺为立方积【商四十故书于防之上两位进法也】
次以初商自乘一千六百尺乘纵亷得一万七千六百尺为纵亷积
次以初商乘纵方得一千二百尺为纵方积
并三积共八万二千八百尺以减原实余一万八千二百尺再商之
初商四十尺濶也 加纵五尺得四十五尺长也加纵六尺得四十六尺高也
乃以初商濶长高而维乘之
长乘濶得一千八百尺 濶乘高得一千八百四十尺【又法并高与长九十一尺以濶四十尺乘之共三千六百四十尺省两维乘其数亦同】高乘长得二千○七十尺
并维乘数共五千七百一十尺为平亷法
又以濶长高并之共一百三十一尺为长亷法乃列余实以平亷用筹为法除之
合视筹第三行是一七一三小于
余实次商三尺【所减首位不空故本位书之】就
以次商三尺乘平亷法得一万七
千一百三十尺为平亷积 又以
次商三尺自乘九尺乘长亷法得一千一百七十九尺为长亷积 又以次商三尺自乘再乘得二十七尺为隅积 并之得一万八千三百三十六尺大于余实不及减
改商二尺
就以次商二尺乘平亷法得一万一千四百二十尺为平亷积【即用筹第二行取之】
次以次商自乘四尺乘长亷法得五百二十四尺为长亷积 又以次商自乘再乘得八尺为隅积并之共一万一千九百五十二尺以减余实仍余六千二百四十八不尽以法命之
法以濶长高各加次商二尺为濶长高而维乘之并高四十八尺长四十七尺共九十五尺以濶四十二尺乘之得三千九百九十尺【代两维乘】又以长乘高得二千二百五十六尺并得六千二百四十六尺 又以长濶高并之得一百三十七尺 又加一尺 共六千三百八十四为命分
命为六千三百八十四之六千二百四十八即奇数计开
濶四十二尺有奇
长四十七尺有奇
高四十八尺有奇
厯算全书卷三十二