益古演段卷中
元 李冶 撰
第二十三问
今有圆方田各为叚共计积一千三百七步半只云方面大如圆径一十步圆依密率问面径各多少答曰方面三十一步 圆径二十一步
法曰立天元一为圆径加一十步得□丨为方面以自之得□【○二】丨为方田积以十四之得下式□□□
为十四叚方田积于头又立天元
圆径以自乗为幂又以十一之得
【太○】□便为十四叚圆田积【依密率合以径
自乗又十一之如十四而一今以十一乗不受除故就为十四分母】
【也】以并入头位得□□□为十四叚如积寄左然后列真积一千三百七步半就分十四之得一万八千三百五步与左相消得□□□开平方除之得二十一步为密率径也加不及步为方田也
依条叚求之十四之积步于上内减十四叚不及步幂为实二十八之不及步为从二十五步常法
义曰将此十四个方幂之式
只作一个方幂求之自见隅
从也
第二十四问
今有方圆田合一叚共计积一千四百六十七步只云方面与圆径相穿得五十四步问面径各多少答曰方面一十二步 圆径四十二步
法曰立天元一为圆径减穿步五十
四步得□丨为方田面以自増乗得
下式□□丨为方田积于头位再立
天元圆径以自之又三之四而一得
【元○】□为圆田积也并入头位得□□□为一叚如积寄左然后列真积一千四百六十七步与左相消得□□□倒积倒从开平方得四十二步为圆田径也以减穿步即方面
按法内所言倒积倒从即飜积法也盖初商积常减原积此独以原积减初商积倍防常减従步此独以従步减倍防乃平方中之一变也古法多用之今依数布算于后以存其式
法列积一千四百四十九步为实以一百零八步为
长与一濶又七分半之和即从数求
濶初商四十步以一濶七分半乗之
得七十步以减和数余三十八步以
初商乗之得一千五百二十步为初
商积大扵原积反减之余实七十一
步乃二因一濶七分半所乗初商之
数得一百四十步大扵和数反减之
余三十二步为次商防次商二步以
一濶七分半乗之得三步半为次商
隅凡和数防隅相减此反相加得三
十五步半以次商乗之得七十一步为次商积与余积相减恰尽开得濶四十二步
依条叚求之穿步幂内减田积为实倍穿步为従一步七分半虚常法
义曰二之従步内元减了七分半
又叠了一步计虚却一步七分半
也
第二十五问
今有方圆田各一叚共计积一千三百七步半只云方周大如圆周五十八步问方圆各多少【圆依密率】
答曰方周一百二十四步 圆周六十六步
法曰立天元一为圆周加周差五十
八步得□丨为方田周以自増乗得
下式□□丨为方周幂便是十六个
方田积又就密率分母一十一之得
□□□为一百七十六叚方田积于头又立天元圆周以自之为幂又就分一十四之得【元○】□为一百七十六叚圆田积【依密率周上求积合以周自乗又以七乗之如八十八而一为一叚田积也今又周宻上更以十四乗之则合用一百七十六而一故就分便为此数】以添入头位得□□□共为一百七十六叚如积寄左然后列真积一千三百七步半就分以一百六十七乗之得二十三万一百二十步与左相消得□□□开平方得六十六步为圆田周也加多步见方周
依条叚求之一百七十六之积内减一十一叚多步幂为实二十二之多步为从二十五步常法
义曰一百七十六之积步内
有一十一个方周方一十四
个圆周方也今画此式其一
十四个圆周方与一十一个圆周方大小俱同者止为欲见差步权作此式其实合作一十二叚圆式求之其实自见也【按十一方周幂十四圆周幂共积内减去十一不及幂余不及步乗圆周长方二十二圆周幂二十五故以二十二不及步为従二十五为隅也】
第二十六问
今有方圆田各一叚共计一千四百五十六步只云方周大如圆周方圆周共相和得二百步问二周各多少答曰方周一百二十八步 圆周七十二步
法曰立天元一为圆周减于相和二
百步得□丨为方周以自乗得□□
丨为方周幂【是十六个方积也】就分三之得
□□□为四十八叚方田积扵头再
立天元圆周以自之又就分四之得【元○】□亦为四十八叚圆田积并入头位得□□□为四十八叚如积数寄左然后列真积一千四百五十六步就分四十八之得六万九千八百八十八步与左相消得□□□开平方得七十二步为圆田径也减共步则方周
依条叚求之三叚和步幂内减四十八之田积为实六之和步为従七益隅
义曰减时减过一个方六之従步内又欠六个方共虚了七步故以为益隅
第二十七问
今有方圆田各一叚共计积二千二百八十六步只云方面不及圆径一十二步圆依密率问面径各多少答曰方面三十步 圆径四十二步
法曰立天元一为方面加不及一十
二步得□丨为圆径以自之得□□
丨为圆径幂以一十一之得下式□
□□便为十四个圆积于头再立天
元方面以自之又就分一十四之得【元○】□为十四个方积也并又头位得□□□为十四叚如积数寄左然后列真积二千二百八十六步就分一十四之得三万二千四步与左相消得下式□□□平方开之得三十步即方面也加不及一十二步即圆径也依条叚求之十四之真积内减一十一叚差步幂为实二十二之差步为従差步即不及步二十五歩常法
义曰十四之积步内有一十
一个圆径方与一十四个方
面方此式与第二十五问畧
同其一十一个圆径幂有十一个方正当十一叚之其数自见也
第二十八问
今有方圆田各一叚共计积二千二百八十六步只云方周不及圆周一十二步问周各若干【圆依密率】
答曰方周一百二十步 圆周一百三十二步
法曰立天元一为方周加不及步一十二得【太□】丨为圆周以自之得□□丨又以一十四乗之得□□□
为一百七十六叚密率积扵头再立
天元方周以自之为方积一十六叚
又就分一十一之得【元○】□便为一百
七十六叚方田积并入头位得下式
□□□为一百七十六叚如积数寄左然后列真积二千二百八十六步就分以一百七十六乗之得四十万二千三百三十六步与左相消得□□□开平方得一百二十步为方周加不及步即圆周也依条叚求之一百七十六之真积内减十四叚差步幂为方实二十八之差步为従二十五常法
义曰所减数乃十四叚不及
步幂也
第二十九问
今有方圆田各一叚共计积一千四百四十三步只云圆周大如方周方圆周并得一百九十八步问二周各多少
答曰方周九十六步 圆周一百二步
法曰立天元一为方周减共步一百
九十八得□丨为圆周以自増乗得
□□丨为十二叚圆田积四之得下
□□□为四十八叚圆田积扵头再
立天元方周以自之为十六叚方田积又就分三之得【元○】□便为四十八叚方田积并入头位得□□□为四十八叚如积寄左然后列真积一千四百四十三步就分母以四十八乗之得六万九千二百六十四与左相消得□□□开平方得九十六步为方周也减于并数见圆周也依条叚求之四叚共步幂内减四十八之积为实八之共步为従七益隅
义曰八之从内合虚八个方今见有一个方外只虚了七步方也
第三十问
今有圆田二叚【一叚依圆三径一率一叚依密率】共积六百六十一步只云二径共相和得四十步问二径各数
答曰密径一十四步 古径二十六步
法曰立天元一为密径以减相和四十步得□丨为古径以自之得下□□丨为古径幂以三因之得□
□□合以四约之又就分母七之得
□□□为二十八叚古圆积于头再
立天元密圆径以自之又二十二之
得【元○】□为二十八叚密圆积也并入
头位得□□□为二十八叚如积寄左然后列真积六百六十一步就分二十八乗之得一万八千五百八步与左相消得□□□平方开之得一十四步为密圆径以减和步即古径也
依条叚求之二十一叚和步幂内减二十八之田积为实四十二之和步为从四十三步虚常法
义曰其二十八之田积内有古
积二十一叚密积二十二叚元初
减时减过一叚又并从步内合
除之数计虚却四十三个方也
第三十一问
今有直田一叚中心有圆池水占之外计地三千九百二十四步只云从外田角斜通内池径七十一步外田阔不及长九十四步问三事各多少
答曰圆池径一十二步 田长一百二十六步
阔三十二步
法曰立天元一为内圆径以减倍通
步一百四十二步得□丨为直田斜
以自乗得□□丨为两叚直田并一
叚较幂扵头再置阔不及长九十四
步自之得八千八百三十六步以减头位得□□丨为两叚直积数寄左再立天元圆径以自之为圆径幂三之二而一得【元○】□为两个池积数加入二之见积七千八百四十八步得□○□亦为二叚真积与寄左相消得□□□平方开之得一十二步为圆径也
依条叚求之倍通步为幂内减二之见积一个较幂为实四之通步为从半步常法
义曰従步内少一个圆径幂其
漏下底二个圆池共一步半今
将一步补了従步合除之数外
犹剰半步故以为常法
第三十二问
今有圆田一叚中心直池水占之外计地五千三百二十四步只云并内池长阔与外圆径等内池阔不及长三十六步问三事各多少
答曰外田径一百步 内池长六十八步 濶三
十二步
法曰立天元一为外圆径以自乗
三因四而一得【元○】□为圆积内减
了见积五千三百二十四步余得
□○□为水池直积也以四之得
□○□为四叚水池直积寄左再立天元圆径命为直积和步以自之得【元○】丨为四积一较幂内减了池较幂一千二百九十六步得□○丨亦为四叚池积与左相消得□○□平方开之得一百步为外圆径也阔不及长减圆径余折半见阔却以不及步加之即长也
依条叚求之四积内减较幂为实从空二步常法
义曰四之
圆积内有
四个水池
又扵见积内减了一个池较幂相并恰是一个和幂也今来池和与圆等共和幂恰是一个圆径幂也除外有两个方
第三十三问
今有圆田一叚中心有直池水占之外计地七千三百步只云并内池长濶少田径五十五步阔不及长三十五步问三事各多少
答曰田径一百步 内池长四十步 阔五步
法曰立天元一为外圆径自之
得数又三之四而一得【元○】□为
外圆田积也减见积七千三百
步得□○□为内池积也以四
之得□○□为四叚池积寄左再立天元圆径内减少径步五十五得□丨为池和也以自之得□□丨为四池一较幂内减池较幂一千二百二十五步得□□丨亦为四池积也与左相消得□□□平方开之得一百步为圆径也内减少径即水池和步内加一差即为二长若减一差即为二阔也
依条叚求之四之积步内减池较幂却加入少径幂为实二之少径为从二步常法
义曰四池并所减
底个较幂恰是一
个和自之
旧术下积步四之于头位又以少径步自乗加头位内却减阔不及长幂余折半为实用少径为従一步常法
第三十四问
今有圆田一叚内有直池水占之外计地六千步只云従内池四角斜至田楞各一十七步半其池阔不及长三十五步问三事各若干
答曰圆田径一百步 池长六十步 濶二十五
步
法曰立天元一为外径内减倍
至步三十五步得□丨为池斜
以自之得□□丨为二积一较
幂于头又列阔不及长三十五
步以自之得□减头位得○□□为四池积寄左又立天元圆径以自之又三之便为四叚圆积内减四之见积二万四千步得下式□○□亦为四个池积也与左相消得□□丨平方开得一百步为外田圆径也圆径自之又三之四而一内减见积余为内池积也又用差步为従开方见池阔也
依条叚求之四之见积内加八叚至步幂却减两叚阔不及长幂为实八之至步为従一步常法
义曰四个圆积内
有四个虚直池于
积内又减了两叚
阔不及长幂合成两个池斜幂也八个従步内贴入八个斜至步幂其数与圆径正相应也外恰有一步方
第三十五问
今有圆田一叚中心有直池水占之外计地五千七百六十步只云从外田东南楞至内池西北角通斜一百一十三步其内池阔不及长三十四步问三事各多少
答曰外圆田径一百二十步 池长九十步 阔
五十六步
法曰立天元一为角斜加通步
得□丨为圆径以自之得□□
丨为圆径幂又三之得□□□
为四叚圆田积也内减了四之
见积二万三千四十步得□□□为四叚内直池寄左再立天元角斜以减通步为池斜以自之得□□丨为池斜幂于头又列长平【按平即阔】较三十四步以自之得一千一百五十六步以减头位余□□丨为二池积也又倍之得□□□亦为四直池与左相消得□□丨开平方得七步为角斜也
依条叚求之四之积步内减两叚阔不及长幂又减一叚通步幂为实十之通步为従一步隅法
义曰两个较幂并
四个池积该两个
斜幂也于四个圆
积内减此两个斜幂外更减了一个通步幂恰是十之从外有一步常法也
第三十六问
今有圆田一叚中心有直池水占之外计地六千步只云従内池四角斜至田楞各一十七步半其内池长阔共相和得八十五步问三事各多少
答曰外田径一百步 池长六十步 阔二十五
步
法曰立天元一为内池斜加入
倍至步三十五得□丨为外圆
径以自之又三之得□□□为
四叚圆积也内减四之见积二
万四千步得下□□□为四个池积寄左乃置内池和八十五步以自之得□为四积一较幂于头再立天元内池斜以自之得【元○】丨为二池积一较幂以减于头位得□○丨为二池积也又倍之得□○□亦为四池积与左相消得□□□平方开得六十五步为内池斜加倍至步即圆径也径自之又三之四而一内减去田积余实以和步为从一虚隅开平方见阔也依条叚求之四之积步内加两叚和步幂却减十二叚至步幂为实十二之至步为从五步常法
义曰所加两个和
幂该八积二较幂
数内元有四虚池
外有四积二较幂其实只是添了两个池斜幂也于四圆积内除従步占外元有三个方今又加入两个池斜幂共得五步故五为常法
第三十七问
今有圆田一叚中心有直池水占之外计地九千一百二十步只云従外田楞通内池斜一百一十六步半其内池长阔共相和得一百二十七步问三事各多少
答曰圆田径一百二十步池长一百一十二步
阔一十五步
法曰立天元一为角斜加通步
一百一十六步半□步丨为圆
径以自之得□□丨为圆径幂
以三之得□□□为四叚圆田
也内减四之见积三万六千四百八十步得□步□□为四叚内池积寄左再立天元角斜以减通步得□步丨为内池斜以自乗得□步□丨为二积一较幂于头又列池和步以自乗得□内减头位余得□【元】□丨为二池积也倍之得下□步□□亦为四池积与左相消得□步□□平方开之得三步半为角斜也加通步为圆径
依条叚求之四之积步内加两叚和步幂却减五个通步幂余为实二之通步为从五步为常法
义曰两个和幂内虚了四池只是两个池斜幂今将两个池斜幂减于两个通步幂止有二甲二乙所占之地今又将二甲二乙及三叚通步幂并以减于四之见积外实在两个通步从五个方也
第三十八问
今有水旱田各一叚共计积二千六百二十五步只云水田长阔共一百步其旱地阔不及长三十五步而不及水地阔十步问水旱地长阔各若干
答曰水地长七十五步 阔二十五步 旱地长
五十步 阔一十五步
法曰立天元一为旱地阔加旱
阔不及水阔一十步得□丨为
水地阔以减水田长阔共一百
步得□丨为水田长也以水田长阔相乗得□□丨为水田积扵头再置天元旱地阔加不及三十五步得□【兀丨】为旱田长也以天元乗之得【太○】□丨为旱田积也加入头位得□□为一叚如积寄左然后列真积二千六百二十五步与左相消得□□下法上实如法得一十五步为旱田阔也加阔不及长三十五步为旱田长也又扵旱阔内加不及水地阔一十步为水地阔也以水地阔减于水田长阔一百步余为水田长也
依条叚求之以水田共步乗二阔差于头位以二阔差幂减头位得数复以减于田积为实列水田共步加入旱地长阔差内却减两个二阔差为法
义曰其水田阔二十五步为法内元多一个水旱二阔差数又积步内减了一叚旱阔为长二阔差为平底直积是又虚了一个水旱二阔差数故于法内减去两个阔差也
按此条圗与义不合盖写之误也今仍存旧式另拟图义扵后以明之
义曰水田长阔共步乗二阔差
内减差幂即附水田周一磬折
积也以减共积余同旱阔之两
长方共积为实其水田长阔比原数各减一阔差扵此长阔和内加旱田长阔较即两长方之共长故为法即得旱田阔也
第三十九问
今有直田一叚内有圆池水占之外计地三十九畆一分半只云従田两头至池各一百五步两畔至池各九步问三事各多少
答曰田长二百三十四步 阔四十二步 池径
二十四步
法曰立天元一为内池径加二之边
至一十八步得□丨为田阔又置天
元池径加二之头至二百一十步得
□丨为田长长阔相乗得下式□□
丨为直田积于头再置天元径以自之又三之四而一得○□为内池积以减头位得□□□为一叚如积数寄左然后列真积三十九亩一分半以亩法通之得九千三百九十六步与左相消得□□□开平方得二十四步为内池径也加二之邉至步为田阔若加二之头至步即田长
依条叚求之倍头至步与倍边步相乗以减田积为实并一头一边步又倍之为从二分半常法
义曰此问与第一问条叚颇同但所减者为四个小池积【按池当作隅】
第四十问
今有直田一叚中心有圆池水占之外计地四亩五十三步只云外田长平和得七十六步太半步従田四角去池楞各一十八步问外田水池径各多少答曰田长五十步 阔二十六步太 池径二十
步太
法曰立天元一为内池径加倍角至步三十六得□丨为直田斜以自之得□□丨为田斜幂【便是二积一较幂也】
又九之得下式□□□为十八积九
较幂也寄左列和步七十六步太【按太
即三分步之二】通分内子得□以自之得五
万二千九百步为九叚和幂于头【为九】
【叚和幂者元带三分母以自之得九也此九叚和幂该三十六直积九个较幂也】又置天元圆径以自之又三之四而一得【元○】□为一叚圆积也加入见积一千一十三步得□○□共为直积一叚又十八之得□○□为十八叚直积以减头位得□○□亦为九叚田斜幂与左相消得□□□合以平方开之今不可开【按不可开者谓防隅数多而得数又不能尽也】先以隅法二十二步半乗实二万三千单二步得五十一万七千五百四十五步正为实元従六百四十八负依旧为従一益隅平方开之得四百六十五步以元隅二十二步半约之得二十步三分之二为内池径也加倍至步为田斜以自之为二积一较幂又二之于头位以和步幂减头位余以平方开之即田较也加入和步折半为长若减于和步折半为阔也
依条叚求之列相和步自乗为幂内减倍积及四叚至步幂为实四之至步为从二步半常法
义曰和步幂内减了二直积只
有一叚斜幂也减二直积时漏
下两个圆池该一步半又正有
一步共计二步半常法也 求
较者先置池径二十步太□带三分母便为三个径也加入六之至步一百八步得□便为三个田斜也以自之得□为九叚斜幂【便是十八个直积九个较幂】倍之得□为三十六叚田积一十八叚较幂于头再置和步七十六步太□亦带三分母便为三个和也以自之得□为九叚和幂【便是三十六直积九较幂也】以减头位余□为九叚较幂也平方开之得七十步以三约之得二十三步三分步之一为田较也欲见田长阔及斜者准此法求之 又法求圆池径者立天元一为三个内池径以自之得【元○】丨为九叚池径幂便是十二叚圆积也加十二叚见积得□○丨为十二叚直积又身外加五得□○□为十八叚直田积扵头又列和步七十六步太通分内子得二百三十自之得□为和幂九叚【便是直积三十六叚较幂九叚也】内减头位得下式□○□为九叚斜幂数寄左再置天元圆径加六之角至步一百八步得□丨为三个田斜以自之得□□丨亦为九叚斜幂也与左相消得□□□开平方得六十二步为三个圆池径也以三约之得一个圆径二十步三分之二此名之分天元一术前法乃连枝同体术也【按分天元一术即天元一内带分求之得数而后约之连枝同体术即通分开方得数而后约之皆兼通分之法也】
第四十一问
今有直田一叚中心有圆池水占之外计地三千九百二十四步只云従外田角斜通池径七十一步外田长阔相和得一百五十八步问三事各多少
答曰圆径十二步 田长一百二十六步 阔三十二步
法曰立天元一为内圆径以减倍通
步一百四十二步得□丨为田斜以
自之得□□丨为二积一较幂于头
又立和步一百五十八步以自之得
□为四积一较幂以减头位得□□丨为二直积寄左又立天元池径以自之又三之二而一得【元○】□为两个池积也加入二之见积七千八百四十八步得□○□亦为一叚直积与左相消得□□□平方开之得一十二步为内池径也
依条叚求之二之积步内加四叚通步幂却减一叚和步幂为实四之通步为従二步半虚常法
义曰减一和步幂是减四积一
较幂也四之通步幂内减了一
个斜幂却又减过二个直积故
二之积步加之従内欠一个方
减二积时漏下二个圆池又该欠一个半方共欠二步半虚常法也
第四十二问
今有直田一叚中心有圆池水占之外计地一万八百步只云从外田角至水池楞六十五步其外田阔不及长七十步问二事各多少
答曰田长一百五十步 阔八十步 圆池径四
十步
法曰立天元一为内池径加倍至一
百三十步得□丨为田斜以自之得
□□丨为田斜幂于头又置田较七
十步以自之得□为较幂以减头位
得□□丨为二田积寄左再立天元池径以自之身外加五得【元○】□为两个池积也加二之见积二万一千六百步□○□亦为二直积与左相消得□□□开平方得四十步即池径也以径自之三之四而一加入见积为实以阔不及长为従开方得田阔依条叚求之二之田积内加较幂却减四叚至步幂为实四之至步为従半步虚常法
义曰二积内加一个较幂恰补
就一个斜幂也其二积内有两
个圆池是元虚了一步半方也
扵积内却实有一步除外止虚了半步也