九章録要卷一
欽定四庫全書
九章録要卷一
松江屠文漪撰
乗除諸法
九章乗除之法各有不同因以分著各章其通用者宜先講也具詳於左
并乗并除 算以速見巧乗或屢乗除或屢除不若一乗一除之捷也假如有數須用一十五乗復一十八乗者直以二百七十乗之〈先以十五與十八相乗〉餘可意推其在除法尤以并為便葢使分除而前除不盡以後必用零除之法仍是并除而更多事固不如先并也惟前除適盡則後除雖有零餘亦當無幾特便於命分而并除者餘實反多然約之亦正相同耳
分乗分除 再三乗除不若一乗除之便而亦有時宜用分者不可以一律拘假如有數須二百四十五乗〈凡為四十九者五〉則先以五乗之復以七乗之又以七乗之既無易誤之患而算較㨗也其在除法則須審量何也恐前除不盡而後仍用零除也葢以法除實或不能盡者非必如三六七九等除雖破實之一為十為百與千〈如實米一石破為十斗為百升為千合之類是也〉而終不盡也即如二四五八等除但破實之一為十與百千自無不盡而若不破實則仍不盡矣前除既破實以至於盡後除勢不中止此於命分反逺特求分釐數者宜之耳夫既已命分而以母除子亦得分釐數既得分釐數而以原法乗之亦可命分二者固亦相通然而各自取㨗豈須借徑此其宜審者也更恐前除破實且不盡則雖求分釐數亦未能精細故所分之除法孰先孰後〈大抵二四五八等除宜居前三六七九等除宜居末〉又不可不審總之運算之巧存乎一心非言所可悉矣 假如有銀四百五十兩用一百六十八除若并除得二兩又一百六十八分兩之一百一十四即不復破實細除但約之為二十八分兩之一十九而可以命分矣若分除者先用三除次八除次七除〈以原數四百五十故先用三除若係三百五十便當先用七除次八次三也〉得二兩六錢七分八釐五毫七絲又七分絲之一〈尚可再除而數微已甚矣〉倘欲以兩命分則惟二兩整數已定外餘須以原法乗之乃得一百一十四之數仍再約之反不㨗也〈右一條新增〉
乗除相減歸一法 數須乗除並用而可用乗省除或用除省乗則歸一尤為至便如數須一十八乗復三除者直以六乗之須四乗復十二除者直以三除之其法乗數多則從乗除數多則從除而必先取乗除兩數以少除多除之可盡即用除得之數不可盡者不能歸一也省乗用除倘有零餘則約分簡易更非原數乗除之比〈右一條新訂〉
兩數一半一倍乗法 置兩數欲相乗者若倍其一半其一而乗之所得數同如一數五百二十五一數三十二倍上數為一千零五十半下數為一十六乗之視以原數相乗者㨗矣此特宜於數之少者葢直可以臆計而不煩布算也〈右一條新增〉
倍除法 置兩數欲以法除實者若倍其法除之所得數亦倍之即應得之數如有數須四十五除則用九十除須一百三十五除則用二百七十除亦倍所得數㨗於以原法除也遇零分欲求分釐數者依此除之若欲命分則仍其子還用原母〈即原法也〉以命之或須約者更約之滿原母者歸整為一數俱不用倍〈右一條新增〉
乗除通用法 二乗與五除同二除與五乗同〈置銀十兩以二乗之得二十兩以五除之得二兩其差十倍然而可通用者其乗除俱得二數則同耳〉 四乗與二五除同四除與二五乗同〈其差百倍〉 八乗與一二五除同八除與一二五乗同〈其差千倍〉
以加減代乗法 假如有數須八乗者即於實下一位減二若實數係五二五當減一十則於實之本位減一也有數須一零五乗者即於實下第二位加五若實數係二二五當加一十則於實下一位加一也加減俱從小數始
三率準測乗除法 數有已知者因以測所未知則列前三率求後一率先定三率之位第一率與第三率相準第二率與未知之第四率相準如穀準穀錢準錢之類乃以二率三率相乗為實以一率為法除之得四率為所求數舊名異乗同除〈左例原銀與原米是為同今銀與原米是為異〉
假如原有銀三十六兩糴米四十八石今銀六十三兩問米幾何
一率 原銀三十六兩
二率 原米四十八石
三率 今銀六十三兩
四率 八十四石為今米數
右法若先以一率除二率得數乃以乗三率或先以一率除三率得數乃以乗二率所得四率皆同但除之不盡必用零乗之法則不若從前先乗後除為㨗〈凡數須乗除並用者每以乗居先倣此〉
右法覆算以二率三率相乗如前以四率除之仍得第一率若以一率四率相乗以二率除之得三率以三率除之得二率
三率化多為寡乗除法 别求一通數可以除盡率中之兩數者〈其一必係第一率其一或第二率或第三率〉即以通數除率數所得數列本率下以代率數乗除如前無通數者則否
一率 三十六 三〈此以十二為通數〉
二率 四十八 四
三率 六十三
四率 八十四
又式
一率 三十六 四〈此以九為通數〉
二率 四十八
三率 六十三 七
四率 八十四
三率易位乗除法 前法以原銀原米相連置一二率而今銀置三率葢以二率視四率猶以一率視三率三率視四率亦猶一率視二率其數可例推也若如左例原珠數多其價數反少今珠數少其價數反多必以一率與三率互換其位而後三率之視四率亦猶一率之視二率矣乗除如前得所求數舊名同乗異除〈若如前置率則當以一率二率相乗以三率除之〉 假如原有小珠五十顆今有珠稍大三十顆其總重適等原珠共價銀一十二兩問今價幾何
一率 今珠三十顆 三〈以十為通數〉
二率 原價十二兩
三率原珠五十顆 五
四率 二十兩為今價
又如有物一枚以稱稱之稱小不及其錘重十兩外加一錘重八兩稱之得三十五斤依小稱算該幾斤一率 原錘十兩 二〈以五為通數〉
二率 今重三十五斤 七
三率 并兩錘十八兩
四率 六十三斤為實重數
又如原稱稱物重三十五斤失原錘欲别作錘配之不知輕重却借一錘重十兩以較原稱之物得六十三斤問原錘重
一率 原重三十五斤
二率 今錘十兩
三率 今重六十三斤
四率 十八兩為原錘重
〈此即前例一率四率相乗而以二率除得三率也〉
三率重測法數或繁襍非三率可盡當疊用三率之法次第推之
假如原母銀五十兩三月得子銀四兩今母銀二百兩欲得子銀二百兩須幾年
一率 原母五十兩
二率 原子四兩
三率 今母二百兩
四率 十六兩為今母三月之子
又
一率 子十六兩
二率 三月
三率 子二百兩
四率 三十七月二分月之一為所求數
右例亦可用并法
一率 原子四兩
二率 原母乗三月得一百五十兩
三率 今須子二百兩
四率 七千五百兩為今母乗月之數再以今母除
之得月數
又如客販布賣之每匹二錢即母銀百兩已得息三十兩設每匹賣二錢四分則百兩獲息幾何
一率 已得息并母一百三十兩
二率 母一百兩
三率 布價二錢化二十分
四率 十五分又十三分分之五為每匹母銀别有㨗法應補於後
一率 二十分
二率 一百三十兩
三率 四分
四率 二十六兩
并三十兩得五十六兩
又
一率 每匹母十五分又十三之五
二率 布價二錢四分内息八分又十三之八三率 母一百兩
四率 五十六兩為所求息數
又㨗法
一率 二十分
二率 一百三十兩
三率 二十四分
四率 一百五十六兩
此為母子并數
三率并乗并除法數雖繁襍而可歸并入三率之内則以三率盡之
假如煉礦求銀初火得三之二再火得七之五又火得四之三凡三火得銀七十五兩問原礦幾何一率 三子相乗得三十
二率 三母相乗得八十四
三率 煉得銀七十五兩
四率 二百一十兩為原礦
又如原有綾八匹換紗二十匹原紗三十匹換布一百匹原布六十匹換錦二匹今有綾一十八匹問換錦幾何
一率 原綾紗布乗得一萬四千四百
二率 原換紗布錦乗得四千匹
三率 今綾一十八匹
四率 五匹為換錦數
乗除先化大小數法 凡數大小雜見不便相乗除則先以大數化為小數假如原有銀六錢買絲七兩今有銀五兩問買絲幾何此因銀數有錢復有兩須化兩為錢其絲自作兩算不必化錢也大凡同類者須化殊類則否〈遇多數取最小數為主以大數化之倣此如一十二兩三錢四分化為一千二百三十四分之類〉
一率 六〈原銀錢數〉
二率 七〈原絲兩數〉
三率 五十〈今銀化為錢數〉
四率 五十八又三分之一〈今應得絲兩數〉
右例亦可以錢從兩化之而不如前法之㨗
一率 五分之三〈原銀化為兩數〉
二率 七〈原絲兩數〉
三率 五〈今銀兩數〉
四率 五十八又三分之一〈得絲兩數同前〉
又如原銀六錢二分五釐買絲七兩今銀一百三十二兩問買絲幾何此若以大數化小則原銀今銀當悉化為釐而原銀數固可以兩命分又不如從兩化之為便所貴乎隨宜通變者也〈因今銀是以兩計而化之非為絲以兩計也〉
一率 八分之五〈原銀化為兩數〉
二率 七〈原絲兩數〉
三率 一百三十二〈今銀兩數〉
四率 一千四百七十八又五分之二〈今應得絲兩數右一條新增〉
九章録要卷一