上编卷三
<子部,天文算法类,推步之属,御制历象考成
钦定四库全书
御制歴象考成上编卷三
弧三角形下
斜弧三角形论
斜弧三角形边角比例法
斜弧三角形作垂弧法
斜弧三角形用总较法【次形法附】
斜弧三角形设例八则
斜弧三角形论
弧三角之有斜弧形犹直线三角之有锐钝形也但直线三角之锐钝形惟二种一种三角俱鋭一种一钝两锐而斜弧形则不然或三角俱锐或三角俱钝或两锐一钝或两钝一锐其三边或俱大过于九十度或俱小不及九十度或两大一小或两小一大参错成形为类甚多而新法算书所载推算之法抑复繁杂难稽葢三角三边各有八线但线与线之比例相当即可相求是故或同步一星或同推一数而所用之法彼此互异遂使学者莫知所从兹约以三法求之无论角之锐钝边之大小并视先所知之三件为断其一先知之三件有相对之边角又有对所求之边角则用边角比例法其一先知之三件有相对之边角而无对所求之边角【或求角而无对角之边或求边而无对边之角】则用垂弧法其一先知之三件无相对之边角【或三边求角或有两边一角而角在所知两边之间或三角求边或有两角一边而边在所知两角之间】则用总较法明此三法则斜弧之用已备而七政之升降出没经纬之纵横交加无不可推测而知矣
斜弧三角形边角比例法
凡斜弧三角形先知之三件有相对之边角又有对所求之边角者则用边角比例法如甲乙丙斜弧三角形有甲角有甲乙边有乙丙边而求丙角则乙丙为对所知之边甲为所知之角甲乙为对所求之边乃以对所知之乙丙边正与对所求之甲乙边正之比同于所知之甲角正与所求之丙角正之比也又如丁戊己斜弧三角形有丁角有己角有丁戊边而求戊己边则己角为对所知之角丁戊为所知之边丁为对所求之角乃以对所知之己角正与对所求之丁角正之比同于所知之丁戊边正与所求之戊己边正之比也
斜弧三角形作垂弧法
凡斜弧三角形先知之三件有相对之边角而无对所求之边角者则用垂弧法如甲乙丙斜弧三角形有甲角有甲乙边有乙丙边而求乙角及甲丙边乃自乙角作乙丁垂弧于形内分为甲乙丁丙乙丁两正弧三角形算之先用甲乙丁形求乙丁垂弧甲丁分边及乙分角葢此形有甲角有甲乙边有丁直角以丁角正【即半径】与甲角正之比同于甲乙边正与乙丁垂弧正之比而得乙丁垂弧以半径与甲角余之比同于甲乙边正切与甲丁边正切之比而得甲丁分边以甲乙边正与甲丁边正之比同于丁角正【即半径】与乙分角正之比而得乙分角次用丙乙丁形求乙分角及丁丙分边葢此形有乙丙边有乙丁垂弧有丁直角以乙丙边正切与乙丁垂弧正切之比同于半径与乙分角余之比而得乙分角以丁角正【即半径】与乙分角正之比同于乙丙边正与丁丙边正之比而得丁丙分边既得两分角并之即乙角得两分边并之即甲丙边也又如戊己庚斜弧三角形有戊角有庚角有己庚边而求戊庚边及己角乃自己角作己辛垂弧于形外将戊庚弧引长至辛作戊己辛庚己辛两正弧三角形算之先用庚己辛形求己辛垂弧庚辛虚边及己虚角葢此形有庚外角有己庚边有辛直角以辛角正【即半径】与庚角正之比同于己庚边正与己辛垂弧正之比而得己辛垂弧以半径与庚角余之比同于己庚边正切与庚辛虚边正切之比而得庚辛虚边以己庚边正与庚辛边正之比同于辛角正【即半径】与己虚角正之比而得己虚角次用戊己辛形求戊辛总边及己总角葢此形有戊角有己辛垂弧有辛直角以戊角正切与半径之比同于己辛垂弧正切与戊辛边之比而得戊辛总边以己辛垂弧正与戊辛边正之比同于戊角正与己角之比而得己总角既得戊辛总边内减去庚辛虚边即戊庚边得己总角内减去己虚角即己角也
斜弧三角形用总较法
凡斜弧三角形知三边求
角者则用总较法以角傍
之两边相加为总弧相减
为较弧各取其余相加
减【总弧较弧俱不过象限或俱过象限则两余
相减若一过象限一不过象限则两余相加其或
过二象限者与过一象限同过三象限者与不过象
限同】折半为中数又以对边
之矢与较弧之矢相减余
为矢较乃以中数与矢较
为比同于半径与所求角
之正矢之比也如知两边
一角而角在两边之间者
以半径与所知角之正矢
为比同于中数与矢较之
比既得矢较与较弧之矢
相加即得对边之矢也如
甲乙丙斜弧三角形有三
边求甲角则以甲角傍之
甲乙甲丙二边相加得乙
丁【甲丙甲戊甲丁三弧同为丁戊距等圈所截故
其度相等】为总弧其正为丁
己余为己庚甲乙与甲
丙相减余乙戊为较弧其
正为戊辛余为辛庚
两余相加得己辛【乙丁总弧
过象限乙戊较弧不过象限其两余在圜心之两
边故相加】折半得辛壬与癸子
等为中数乙丙对边与乙
丑等【乙丙与乙丑两弧同为丑寅距等圈所截
故其度相等】其正为丑卯余
为卯庚正矢为乙卯以
乙卯与乙戊较弧之正矢
乙辛相减余辛卯与辰巳
等为矢较戊辰巳与戊癸
子为同式两勾股形故癸
子与辰巳之比同于戊子
与戊巳之比也又午庚为
半径戊子为距等圈之半
径午未与戊己两段同为
甲丙申大圈所分则戊子
与戊己之比原同于午庚
与午未之比是以中数癸
子与矢较辰巳之比即同
于半径午庚与甲角正矢
午未之比也以午未与午
庚半径相减余未庚为甲
角之余检表即得甲角
所当午申弧之度也若先
有甲角及甲乙甲丙二边
求乙丙对边则以半径午
庚与甲角正矢午未之比
即同于中数癸子与矢较
辰巳之比既得辰巳与辛
卯等与乙戊较弧之正矢
乙辛相加得乙卯为乙丙
对边之正矢也如有甲乙
甲丙乙丙三边求乙角则
以乙角傍甲乙乙丙二边
相加得甲丁【乙丙乙丁乙戊三弧同为
戊丁距等圈所截故其度相等】为总弧其
正为丁己余为己庚
甲乙与乙丙相减余甲戊
为较弧其正为戊辛余
为辛庚两余相减余
辛己【甲丁总弧甲戊较弧皆不过象限其两余
同在圜心之一边故相减】折半得辛
壬与癸子等为中数甲丙
对边与甲丑等【甲丙与甲丑两弧同
为寅丑距等圈所截故其度相等】其正
为丑卯余为卯庚正矢
为甲卯以甲卯与甲戊较
弧之正矢甲辛相减余辛
卯与辰巳等为矢较戊癸
子与戊辰巳为同式两勾
股形故癸子与辰巳之比
同于戊子与戊巳之比也
又午庚为半径戊子为距
等圈之半径戊巳与午未
两段同为乙丙申大圈所
分则戊子与戊巳之比原
同于午庚与午未之比是
以中数癸子与矢较辰巳
之比即同于半径午庚与
乙角大矢午未之比也【凡钝
角所用诸线皆与外角同惟矢则有正矢大矢之别
如庚未为乙锐角所当申酉弧之余亦为乙钝角
所当午申弧之余检表锐角即得本角度钝角与
半周相减亦即得本角度而未酉为乙锐角之正矢
乃于酉庚半径内减庚未余午未为乙钝角之大
矢乃于午庚半径加庚未余也此正矢大矢之别
过弧亦然】于午未大矢内减午
庚半径余庚未为乙角之
余检表得乙外角度与
半周相减余即乙钝角之
度也若先有乙钝角及甲
乙乙丙二边求甲丙对边
则以半径午庚与乙角大
矢午未之比即同于中数
癸子与矢较辰巳之比既
得辰巳与辛卯等与甲戊
较弧之正矢甲辛相加得
甲卯为甲丙对边之正矢
也
斜弧三角形知三角求边
者则用次形法如甲乙丙
形可易为丁戊己次形葢
甲角之度当庚辛弧而庚
辛与己戊等【庚己与辛戊皆象限故庚
辛与己戊等】故本形之甲角即
次形之己戊边乙外角之
度当壬癸弧而壬癸与己
丁等【壬己与癸丁皆象限故壬癸与己丁等】故本形之乙外角即次形
之己丁边丙角之度当子
丑弧而子丑与戊丁等【子戊
与丑丁皆象限故子丑与戊丁等】故本形
之丙角即次形之戊丁边
是本形之三角即次形之
三边也又次形丁角之度
当癸丑弧而癸丑与乙丙
等【丙丑与乙癸皆象限故癸丑与乙丙等】故
次形之丁角即本形之乙
丙边戊外角之度当辛子
弧而辛子与甲丙等【丙子与甲
辛皆象限故辛子与甲丙等】故次形之
戊外角即本形之甲丙边
己角之度当庚壬弧而庚
壬与甲乙等【乙壬与甲庚皆象限故庚
壬与甲乙等】故次形之己角即
本形之甲乙边是本形之
三边即次形之三角也故
用丁己戊次形仍用总较
法算之求得次形之三角
即得本形之三边也如有
乙角丙角及乙丙边而求
甲角亦用丁戊己次形有
己丁边戊丁边及丁角仍
用总较法算之求得己戊
边即甲角也
设如申正初刻测得太阳髙三十二度地平经度偏西八十一度四十二分四十八秒求太阳距赤道纬度几何
甲乙丙三角形甲为北极
乙为天顶丙为太阳乙丁
戊己为子午经圏乙丙癸
戊为地平经圏丁己为地
平庚辛为赤道庚壬为申
正初刻距午正赤道六十
度即甲角丙癸为太阳髙
三十二度【即地平纬度一名髙弧】与
乙癸象限相减余太阳距
天顶五十八度即乙丙边
丁癸为地平经度偏西八
十一度四十二分四十八
秒与丁己半周相减余癸
己九十八度一十七分一
十二秒即乙角丙壬为太
阳距赤道纬度与甲壬象
限相减余甲丙边为太阳
距北极度故用甲乙丙三
角形有甲乙二角及乙丙
边求甲丙边以甲角六十
度为对所知之角其正
八百六十六万零二百五
十四为一率乙角九十八
度一十七分一十二秒为
对所求之角其正九百
八十九万五千五百九十
三为二率乙丙五十八度
为所知之边其正八百
四十八万零四百八十一
为三率求得四率九百六
十九万零一百七十六为
所求甲丙边之正检表
得七十五度四十二分零
一秒即甲丙弧之度与九
十度相减余一十四度一
十七分五十九秒即太阳
距赤道北之纬度也此法
用边角相比例与直线三
角形同但直线三角形以
角之正与边相比【见数理精
蕴第十七卷】此以角之正与
边之正相比其比例之
理一也又以正弧之理明
之试将甲乙弧引长至丁
自丙角作丙丁垂弧则成
甲丁丙乙丁丙两正弧三
角形先求乙丁丙形丁角
正【即半径】为一率乙角正
为二率乙丙正为三
率丙丁正为四率此第
一比例也次求甲丁丙形
甲角正为一率丁角正
【即半径】为二率丙丁正
为三率甲丙正为四率
此第二比例也然第二比
例之二率三率即第一比
例之一率四率而二率三
率相乘与一率四率相乘
之数等故用第一比例之
二率三率而用第二比例
之一率即得第二比例之
四率此有对角求对边之
法也
设如太阳距赤道北一十四度一十七分五十九秒测得髙弧三十二度地平经度偏西八十一度四十二分四十八秒求系何时刻
甲乙丙三角形甲为北极
乙为天顶丙为太阳丙壬
为太阳距赤道北一十四
度一十七分五十九秒甲
丙即为太阳距北极七十
五度四十二分零一秒丙
癸为太阳髙三十二度乙
丙即为太阳距天顶五十
八度丁癸为地平经度偏
西八十一度四十二分四
十八秒癸己为九十八度
一十七分一十二秒即乙
角庚壬为太阳距午正赤
道度即甲角故用甲乙丙
三角形有乙角及甲丙乙
丙二边求甲角以甲丙七
十五度四十二分零一秒
为对所知之边其正九
百六十九万零一百七十
六为一率乙丙五十八度
为对所求之边其正八
百四十八万零四百八十
一为二率乙角九十八度
一十七分一十二秒为所
知之角其正九百八十
九万五千五百九十三为
三率求得四率八百六十
六万零二百五十四为所
求甲角之正检表得六
十度即甲角度以六十度
变得二时从午正初刻后
计之【因偏西故为午正后】为申正初
刻也此有对边求对角之
法也
设如北极出地四十度申正初刻测得太阳髙三十二度求太阳距赤道纬度及地平经度各几何
甲乙丙三角形甲为北极
乙为天顶丙为太阳甲己
为北极出地四十度甲乙
即为北极距天顶五十度
庚壬为申正初刻距午正
赤道六十度即甲角丙癸
为太阳髙三十二度乙丙
即为太阳距天顶五十八
度丙壬为太阳距赤道纬
度甲丙为其余丁癸为地
平经度即乙角之外角【甲乙
丙形之乙角当癸己弧其癸乙丁外角即当丁癸弧】故用甲乙丙三角形有甲
角及甲乙乙丙二边求甲
丙边及乙角乃自乙角作
乙丁垂弧分为甲乙丁丙
乙丁两正弧三角形先求
甲乙丁形以丁角正即
半径一千万为一率甲角
六十度之正八百六十
六万零二百五十四为二
率甲乙五十度之正七
百六十六万零四百四十
四为三率求得四率六百
六十三万四千一百三十
九为乙丁弧之正检表
得四十一度三十三分三
十九秒即乙丁弧之度也
【此即正弧三角形有黄赤交角有黄道求距纬之法
葢甲角即如黄赤交角甲乙即如黄道甲丁即如赤
道乙丁即如距纬】又以半径一千
万为一率甲角六十度之
余五百万为二率甲乙
五十度之正切一千一百
九十一万七千五百三十
六为三率求得四率五百
九十五万八千七百六十
八为甲丁弧之正切检表
得三十度四十七分二十
三秒即甲丁弧之度也【此即
正弧三角形有黄赤交角有黄道求赤道之法】又
以甲乙五十度之正七
百六十六万零四百四十
四为一率甲丁三十度四
十七分二十三秒之正
五百一十一万八千八百
八十八为二率丁角正
即半径一千万为三率求
得四率六百六十八万二
千二百三十四为乙分角
之正检表得四十一度
五十五分四十八秒即乙
分角之度也【此即正弧三角形有黄道
有赤道求黄道交极圏角之法】次求乙丙
丁形以乙丁四十一度三
十三分三十九秒之余
七百四十八万二千五百
二十六为一率乙丙五十
八度之余五百二十九
万九千一百九十三为二
率半径一千万为三率求
得四率七百零八万二千
零九十一为丙丁弧之余
检表得四十四度五十
四分三十八秒即丙丁弧
之度也【此即正弧三角形有黄道有距纬求
赤道之法葢丙角即如黄赤交角乙丙即如黄道丙
丁即如赤道乙丁即如距纬】又以乙丙
五十八度之正八百四
十八万零四百八十一为
一率丙丁四十四度五十
四分三十八秒之正七
百零六万零二十七为二
率丁角正即半径一千
万为三率求得四率八百
三十二万五千零三十为
乙分角之正检表得五
十六度二十一分二十四
秒即乙分角之度也【此即正弧
三角形有黄道有距纬求黄赤交角之法葢乙分角
即如黄赤交角乙丙即如黄道乙丁即如赤道丙丁
即如距纬】乃以甲丁丙丁相并
得甲丙七十五度四十二
分零一秒即太阳距北极
度与九十度相减余一十
四度一十七分五十九秒
即太阳距赤道北之纬度
【如甲丙大于九十度则减去九十度余为太阳距赤】
【道南之纬度】以两乙分角相并
得九十八度一十七分一
十二秒与一百八十度相
减余八十一度四十二分
四十八秒即太阳距午正
偏西之地平经度也此作
垂弧于形内之法也
设如申正初刻测得太阳髙三十二度地平经度偏西八十一度四十二分四十八秒求北极出地度几何
甲乙丙三角形甲为北极
乙为天顶丙为太阳丙癸
为太阳髙三十二度乙丙
即为太阳距天顶五十八
度庚壬为申正初刻距午
正赤道六十度即甲角丁
癸为地平经度偏西八十
一度四十二分四十八秒
即乙角之外角甲己为北
极出地度甲乙为其余故
用甲乙丙三角形有甲乙
二角及乙丙边求甲乙边
乃自丙角作丙丁垂弧补
成甲丙丁乙丙丁两正弧
三角形先求乙丙丁形以
丁角正即半径一千万
为一率乙角九十八度一
十七分一十二秒之正
九百八十九万五千五百
九十三为二率乙丙五十
八度之正八百四十八
万零四百八十一为三率
求得四率八百三十九万
一千九百三十九为丙丁
弧之正检表得五十七
度零三分一十八秒即丙
丁弧之度也【此即正弧三角形有黄赤
交角有黄道求距纬之法葢乙角即如黄赤交角乙
丙即如黄道乙丁即如赤道丙丁即如距纬】又
以半径一千万为一率乙
角九十八度一十七分一
十二秒之余一百四十
四万一千二百六十为二
率乙丙五十八度之正切
一千六百万零三千三百
四十五为三率求得四率
二百三十万六千四百九
十八为乙丁弧之正切检
表得一十二度五十九分
一十七秒即乙丁弧之度
也【此即正弧三角形有黄赤交角有黄道求赤道
之法】次求甲丙丁形以甲角
六十度之正切一千七百
三十二万零五百零八为
一率半径一千万为二率
丙丁五十七度零三分一
十八秒之正切一千五百
四十三万一千零五十九
为三率求得四率八百九
十万九千一百二十六为
甲丁弧之正检表得六
十二度五十九分一十七
秒即甲丁弧之度也【此即正弧
三角形有黄赤交角有距纬求赤道之法葢甲角即
如黄赤交角甲丙即如黄道甲丁即如赤道丙丁即
如距纬】乃以甲丁与乙丁相
减余甲乙五十度即北极
距天顶又与九十度相减
余四十度即北极出地度
也【若求丙角则求得丙总角与丙虚角相减即得】此作垂弧于形外之法也
设如大角星黄道纬北三十一度零三分赤道纬北二十度五十八分四十七秒黄极赤极【即北极】相距二十三度三十分求黄道经度赤道经度各几何
甲乙丙三角形甲为赤极
【即北极】乙为黄极甲乙相距
二十三度三十分丙为大
角星丁戊为黄道己庚为
赤道丙辛为黄道纬北三
十一度零三分乙丙即为
星距黄极五十八度五十
七分丙壬为赤道纬北二
十度五十八分四十七秒
甲丙即为星距赤极六十
九度零一分一十三秒丁
辛为星距夏至后黄道经
度即乙角己壬为星距夏
至后赤道经度即甲角之
外角故用甲乙丙三角形
有甲乙甲丙乙丙三边求
甲乙二角先求乙角则以
夹乙角之甲乙边二十三
度三十分与乙丙边五十
八度五十七分相加得八
十二度二十七分为总弧
其余一百三十一万三
千九百一十三又以甲乙
乙丙两边相减余三十五
度二十七分为较弧其余
八百一十四万六千二
百二十两余相减【总弧较弧
俱不过象限或俱过象限则两余相减若一过象
限一不过象限则两余相加其或过二象限者与
过一象限同过三象限者与不过象限同】余六
百八十三万二千三百零
七折半得三百四十一万
六千一百五十四为中数
为一率以对乙角之甲丙
边六十九度零一分一十
三秒之正矢六百四十一
万九千六百二十五【余与半
径相减得矢度】与较弧三十五度
二十七分之正矢一百八
十五万三千七百八十相
减余四百五十六万五千
八百四十五为矢较为二
率半径一千万为三率求
得四率一千三百三十六
万五千四百五十四为乙
角之大矢【凡矢度过于半径者为大矢其
角即为钝角】内减半径一千万
余三百三十六万五千四
百五十四为乙角之余
检表得七十度二十分与
半周相减余一百零九度
四十分为乙角度即星距
夏至后黄道经度自夏至
未宫初度逆计之为卯宫
一十九度四十分也如图
甲乙与乙丙相加得甲癸
为总弧【乙丙乙癸乙子三弧同为癸子距等
圈所截故其度相等】其正为癸丑
余为丑寅甲乙与乙丙
相减余甲子为较弧其正
为子卯余为卯寅以
丑寅与卯寅两余相减
余卯丑折半得卯辰与巳
午等为中数又对乙角之
甲丙边与甲未等其正
为未申余为申寅正矢
为甲申以甲申与甲子较
弧之正矢甲卯相减余卯
申与酉戌等为矢较遂成
子酉戌与子巳午同式两
勾股形故巳午与酉戌之
比必同于子午与子戌之
比也又丁寅为半径子午
为距等圈之半径子戌与
丁亥两段同为乙丙辛黄
道经圈之所分则子午与
子戌之比原同于丁寅与
丁亥之比是以中数己午
与矢较酉戌之比即同于
半径丁寅与乙角大矢丁
亥之比也既得丁亥大矢
内减丁寅半径余寅亥即
乙外角之余检表得乙
外角所当辛戊弧之度复
与半周相减即得乙角所
当丁辛弧之度也既得乙
角则以对边对角之法求
之即得甲角度矣
如先求甲角则以夹甲角
之甲乙边二十三度三十
分与甲丙边六十九度零
一分一十三秒相加得九
十二度三十一分一十三
秒为总弧其余四十三
万九千七百二十九又以
甲乙甲丙两边相减余四
十五度三十一分一十三
秒为较弧其余七百万
零六千五百六十八两余
相加【总弧过象限较弧不过象限故两余
相加】得七百四十四万六
千二百九十七折半得三
百七十二万三千一百四
十八为中数为一率以对
甲角之乙丙边五十八度
五十七分之正矢四百八
十四万二千一百四十一
与较弧四十五度三十一
分一十三秒之正矢二百
九十九万三千四百三十
二相减余一百八十四万
八千七百零九为矢较为
二率半径一千万为三率
求得四率四百九十六万
五千四百四十五为甲角
之正矢与半径一千万相
减余五百零三万四千五
百五十五为甲角之余
检表得五十九度四十六
分一十六秒即甲角度与
半周相减余一百二十度
一十三分四十四秒即星
距夏至后赤道经度自夏
至未宫初度逆计之为卯
宫初度一十三分四十四
秒也如图甲乙与甲丙相
加得乙癸为总弧其正
为癸子余为子丑甲乙
与甲丙相减余乙寅为较
弧其正为寅卯余为
卯丑两余相加得卯子
【因两余在圜心之两边故相加】折半得
卯辰与巳午等为中数又
对甲角之乙丙边与乙未
等其正为未申余为
申丑正矢为乙申以乙申
与乙寅较弧之正矢乙卯
相减余卯申与酉戌等为
矢较遂成寅巳午与寅酉
戌同式两勾股形故巳午
与酉戌之比同于寅午与
寅戌之比又庚丑为半径
寅午为距等圈之半径寅
戌与庚亥两段同为甲丙
壬赤道经圈之所分则寅
午与寅戌之比原同于庚
丑与庚亥之比是以巳午
中数与矢较酉戌之比即
同于半径庚丑与甲角正
矢庚亥之比也既得庚亥
正矢与庚丑半径相减余
亥丑即甲角之余检表
即得甲角所当庚壬弧之
度也既得甲角则以对边
对角之法求之亦即得乙
角度矣此三边求角之法
也
设如大角星黄道经度距夏至一百零九度四十分赤道经度距夏至一百二十度一十三分四十四秒黄赤两过极经圈交角二十三度四十二分四十五秒求黄道纬度赤道纬度各几何
甲乙丙三角形甲为赤极
【即北极】乙为黄极甲乙为两
极距度丙为大角星丁戊
为黄道己庚为赤道丁辛
为黄道经度距夏至一百
零九度四十分即乙角己
壬为赤道经度距夏至一
百二十度一十三分四十
四秒即甲角之外角丙角
为甲壬乙辛两经圏交角
二十三度四十二分四十
五秒丙辛为黄道北纬度
乙丙为其余丙壬为赤道
北纬度甲丙为其余故用
甲乙丙三角形有甲乙丙
三角求乙丙甲丙二边乃
用次形法先求乙丙边将
甲乙丙形易为癸子丑次
形葢本形之甲角即次形
之子丑边【甲角当庚壬弧与子丑等】本
形乙角之外角即次形之
癸丑边【乙角之外角当戊辛弧与癸丑等】本形之丙角即次形之癸
子边【丙角当寅卯弧与癸子等】本形之
甲乙边即次形之丑角【丁己
弧与甲乙等即丑角度】本形之乙丙
边即次形之癸角【辛寅弧与乙丙
等即癸角度】本形之甲丙边即
次形子角之外角【壬卯弧与甲丙
等即子锐角度为癸子丑形子钝角之外角】故
用癸子丑三角形有三边
求癸角【即乙丙边】以夹癸角之
癸子边【即丙角】二十三度四
十二分四十五秒与癸丑
边【即乙外角】七十度二十分相
加得九十四度零二分四
十五秒为总弧其余七
十万五千五百四十四又
以癸子癸丑两边相减余
四十六度三十七分一十
五秒为较弧其余六百
八十六万八千二百三十
二两余相加【总弧过象限较弧不
过象限故两余相加】得七百五十
七万三千七百七十六折
半得三百七十八万六千
八百八十八为中数为一
率以对癸角之子丑边【即甲
角】五十九度四十六分一
十六秒之正矢四百九十
六万五千四百四十五与
较弧四十六度三十七分
一十五秒之正矢三百一
十三万一千七百六十八
相减余一百八十三万三
千六百七十七为矢较为
二率半径一千万为三率
求得四率四百八十四万
二千一百七十四为癸角
之正矢与半径一千万相
减余五百一十五万七千
八百二十六为癸角之余
检表得五十八度五十
七分即癸角度亦即乙丙
边度与象限相减余三十
一度零三分即黄道北之
纬度也既得乙丙边则以
对边对角之法求之即得
甲丙边矣
如先求甲丙边则用癸子
丑次形求子角【子角之外角当壬卯
弧与甲丙等】以夹子角之子丑
边【即甲角】五十九度四十六
分一十六秒与癸子边【即丙
角】二十三度四十二分四
十五秒相加得八十三度
二十九分零一秒为总弧
其余一百一十三万四
千八百七十四又以子丑
癸子两边相减余三十六
度零三分三十一秒为较
弧其余八百零八万四
千一百五十二两余相
减【总弧较弧俱不过象限故两余相减】余
六百九十四万九千二百
七十八折半得三百四十
七万四千六百三十九为
中数为一率以对子角之
癸丑边【即乙外角】七十度二十
分之正矢六百六十三万
四千五百二十五与较弧
三十六度零三分三十一
秒之正矢一百九十一万
五千八百四十八相减余
四百七十一万八千六百
七十七为矢较为二率半
径一千万为三率求得四
率一千三百五十八万零
三百三十七为子角之大
矢内减半径一千万余三
百五十八万零三百三十
七为子角之余检表得
六十九度零一分一十三
秒即子角之外角度亦即
甲丙边度与象限相减余
二十度五十八分四十七
秒即赤道北之纬度也既
得甲丙边则以对边对角
之法求之亦即得乙丙边
矣此三角求边之法也
设如土星黄道经度卯宫二度二十九分距夏至一百二十二度二十九分黄道南纬度二度三十七分黄极赤极相距二十三度三十分求赤道经度纬度各几何
甲乙丙三角形甲为赤极
【即北极】乙为黄极甲乙相距
二十三度三十分丙为土
星丁戊为赤道己庚为黄
道己辛为黄道经度距夏
至一百二十二度二十九
分即乙角丙辛为黄道南
纬度二度三十七分乙丙
为星距黄极九十二度三
十七分丙壬为赤道南纬
度甲丙即星距北极度丁
壬为距夏至赤道经度即
甲角之外角故用甲乙丙
三角形有乙角及甲乙乙
丙二边求甲丙边及甲角
先求甲丙边以半径一千
万为一率乙角一百二十
二度二十九分之大矢一
千五百三十七万零五百
四十二为二率以夹乙角
之甲乙边二十三度三十
分与乙丙边九十二度三
十七分相加得一百一十
六度零七分为总弧其余
四百四十万二千零四
又以甲乙乙丙两边相减
余六十九度零七分为较
弧其余三百五十六万
四千六百六十二两余
相加【总弧过象限较弧不过象限故两余相
加】得七百九十六万六千
六百六十六折半得三百
九十八万三千三百三十
三为中数为三率求得四
率六百一十二万二千五
百九十九为矢较与较弧
六十九度零七分之正矢
六百四十三万五千三百
三十八相加得一千二百
五十五万七千九百三十
七为甲丙对边之大矢【凡矢
度过于半径者为大矢其弧即为过弧】内减
半径一千万余二百五十
五万七千九百三十七为
甲丙边之余检表得七
十五度一十分四十六秒
与半周相减余一百零四
度四十九分一十四秒即
甲丙边之度内减九十度
余一十四度四十九分一
十四秒为赤道南之纬度
也如图己癸为半径己子
为甲角之大矢甲乙与乙
丙相加【乙丙与乙丑乙卯皆相等】得甲
丑为总弧其正为丑寅
余为寅癸甲乙与乙丙
相减余甲卯为较弧其正
为卯辰余为辰癸两
余相加得辰寅折半得
辰巳与午未等为中数又
对乙角之甲丙边与甲申
等其正为申酉余为
酉癸大矢为甲酉以甲酉
与甲卯较弧之正矢甲辰
相减余辰酉与戌亥等为
矢较遂成卯午未与卯戌
亥同式两勾股形而卯未
与卯亥之比同于午未与
戌亥之比又卯未为丑卯
距等圈之半径卯亥与巳
子两段同为乙辛丙黄道
经圈之所分则卯未与卯
亥之比原同于己癸与己
子之比是以半径己癸与
乙角大矢己子之比即同
于中数午未与矢较戌亥
之比也既得戌亥矢较与
甲卯较弧之正矢甲辰相
加得甲酉即为甲丙弧之
大矢内减甲癸半径余酉
癸为甲丙弧之余亦即
丙干弧之余检表得丙
干弧之度故与半周相减
始为甲丙弧之度也次求
甲角则以甲丙弧一百零
四度四十九分一十四秒
之正九百六十六万七
千三百一十六为一率乙
丙弧九十二度三十七分
之正九百九十八万九
千五百七十三为二率乙
角一百二十二度二十九
分之正八百四十三万
五千四百七十七为三率
求得四率八百七十一万
六千六百七十一为甲角
之正检表得六十度三
十九分一十秒即甲角之
度与半周相减余一百一
十九度二十分五十秒即
星距夏至赤道经度自夏
至未宫初度逆计之为辰
宫二十九度二十分五十
秒也
又法将乙丙弧引长至丁
自甲作甲丁垂弧补成甲
丁乙甲丁丙两正弧三角
形先求甲丁乙形以丁角
正即半径一千万为一
率乙外角五十七度三十
一分之正八百四十三
万五千四百七十七为二
率甲乙弧二十三度三十
分之正三百九十八万
七千四百九十一为三率
求得四率三百三十六万
三千六百三十八为甲丁
弧之正检表得一十九
度三十九分二十秒即甲
丁弧之度也【此即正弧三角形有黄赤
交角有黄道求距纬之法】又以半径一
千万为一率乙外角五十
七度三十一分之余五
百三十七万零五百四十
二为二率甲乙二十三度
三十分之正切四百三十
四万八千一百二十四为
三率求得四率二百三十
三万五千一百七十八为
乙丁弧之正切检表得一
十三度零八分三十八秒
即乙丁弧之度也【此即正弧三角
形有黄赤交角有黄道求赤道之法】次求甲
丁丙形以半径一千万为
一率乙丙弧九十二度三
十七分与乙丁弧一十三
度零八分三十八秒相加
得丙丁弧一百零五度四
十五分三十八秒其余
二百七十一万六千一百
七十八为二率甲丁弧一
十九度三十九分二十秒
之余九百四十一万七
千三百一十八为三率求
得四率二百五十五万七
千九百一十一为甲丙弧
之余检表得七十五度
一十分四十六秒与半周
相减余一百零四度四十
九分一十四秒即甲丙边
之度也【此即正弧三角形有赤道有距纬求
黄道之法】既得甲丙边则以对
边对角之法求之即得甲
角矣此两边夹一角之法
也
设如土星黄道经度卯宫二度二十九分距夏至一百二十二度二十九分赤道经度辰宫二十九度二十分五十秒距夏至一百一十九度二十分五十秒黄极赤极相距二十三度三十分求黄道纬度赤道纬度各几何
甲乙丙三角形甲为赤极
【即北极】乙为黄极甲乙相距
二十三度三十分丙为土
星丁戊为赤道己庚为黄
道己辛为黄道经度距夏
至一百二十二度二十九
分即乙角丁壬为赤道经
度距夏至一百一十九度
二十分五十秒即甲角之
外角丙辛为黄道南纬度
乙丙为星距黄极度丙壬
为赤道南纬度甲丙为星
距赤极度故用甲乙丙三
角形有甲乙二角及甲乙
边求甲丙乙丙二边乃用
次形法先求丙角将甲乙
丙形易为癸子丑次形葢
本形之甲角即次形之子
丑边【甲角当壬戊弧与子丑等】本形乙
角之外角即次形之癸丑
边【乙外角当辛庚弧与癸丑等】本形之
丙角即次形之癸子边【丙角
当寅卯弧与癸子等】本形之甲乙边
即次形之丑角【丁己与甲乙等即丑
角度】本形之乙丙边与半周
相减之余度即次形癸角
之外角【乙丙边与半周相减余丙辰与卯辛
等即辛癸卯角为癸子丑形癸角之外角葢卯丙与
辛辰皆象限各减辛丙故卯辛与丙辰等】本形
之甲丙边与半周相减之
余度即次形之子角【甲丙边与】
【半周相减余丙巳与寅壬等即子角度葢寅丙与壬
巳皆象限各减壬丙故壬寅与丙巳等】故用
癸子丑三角形有丑角及
癸丑子丑二边求癸子边
【即丙角】以半径一千万为一
率丑角二十三度三十分
之正矢八十二万九千三
百九十九为二率以癸丑
边【即乙外角】五十七度三十一
分与子丑边【即甲角】六十度
三十九分一十秒相加得
一百一十八度一十分一
十秒为总弧其余四百
七十二万零八百零七又
以癸丑子丑两边相减余
三度零八分一十秒为较
弧其余九百九十八万
五千零二十四两余相
加得一千四百七十万五
千八百三十一折半得七
百三十五万二千九百一
十五为中数为三率求得
四率六十万九千八百五
十为矢较与较弧三度零
八分一十秒之正矢一万
四千九百七十六相加得
六十二万四千八百二十
六为癸子对边之正矢与
半径一千万相减余九百
三十七万五千一百七十
四为癸子对边之余检
表得二十度二十一分四
十一秒为癸子边之度亦
即丙角度也次求乙丙边
则以丙角之正三百四
十七万九千三百八十七
为一率甲角六十度三十
九分一十秒之正八百
七十一万六千六百五十
七为二率甲乙边二十三
度三十分之正三百九
十八万七千四百九十一
为三率求得四率九百九
十八万九千五百七十三
为乙丙边之正检表得
八十七度二十三分与半
周相减余九十二度三十
七分即乙丙边之度内减
九十度余二度三十七分
即星距黄道南之纬度也
次求甲丙边以丙角之正
三百四十七万九千三
百八十七为一率乙角一
百二十二度二十九分之
正八百四十三万五千
四百七十七为二率仍以
甲乙边之正三百九十
八万七千四百九十一为
三率求得四率九百六十
六万七千三百三十一为
甲丙边之正检表得七
十五度一十分四十六秒
与半周相减余一百零四
度四十九分一十四秒即
甲丙边之度内减九十度
余一十四度四十九分一
十四秒即星距赤道南之
纬度也
又法将乙丙弧引长至丁
自甲作甲丁垂弧补成甲
丁乙甲丁丙两正弧三角
形先求甲丁乙形以丁角
正即半径一千万为一
率乙外角五十七度三十
一分之正八百四十三
万五千四百七十七为二
率甲乙弧二十三度三十
分之正三百九十八万
七千四百九十一为三率
求得四率三百三十六万
三千六百三十八为甲丁
弧之正检表得一十九
度三十九分二十秒即甲
丁弧之度也【此即正弧三角形有黄赤
交角有黄道求距纬之法】又以甲乙弧
二十三度三十分之正切
四百三十四万八千一百
二十四为一率甲丁弧一
十九度三十九分二十秒
之正切三百五十七万一
千七百五十二为二率半
径一千万为三率求得四
率八百二十一万四千四
百六十七为甲虚角之余
检表得三十四度四十
六分一十二秒即甲虚角
之度也【此即正弧三角形有黄道有赤道求
黄赤交角之法】次求甲丁丙形以
丙甲乙角六十度三十九
分一十秒与甲虚角三十
四度四十六分一十二秒
相加得九十五度二十五
分二十二秒为丙甲丁角
乃以其余九十四万五
千零六十四为一率半径
一千万为二率甲丁弧一
十九度三十九分二十秒
之正切三百五十七万一
千七百五十二为三率求
得四率三千七百七十九
万三千七百五十七为甲
丙弧之正切检表得七十
五度一十分四十六秒与
半周相减余一百零四度
四十九分一十四秒即甲
丙边之度也【此即正弧三角形有黄赤
交角有赤道求黄道之法】既得甲丙边
则以对边对角之法求之
即得乙丙边矣此两角夹
一边之法也
御制象考成上编卷三