上编卷十三
<子部,天文算法类,推步之属,御制历象考成
钦定四库全书
御制歴象考成上编卷十三
五星歴理五【专论金星】
金星平行度
用金星距太阳前后极远度求最髙及本轮均轮半径
求初均数
求次均数
金星平行度
金星之平行经度【即本轮心行度】即太阳之平行经度盖金星之本轮心即太阳之本轮心故其行度同也至其在次轮周每日之平行亦用前后两测与土木二星同新法厯书载古测定七平年又三百六十四日千分日之六百六十七或二千九百一十九日又千分日之六百六十七金星行次轮五周【即会日五次退合亦五次】置中积二千九百一十九日又千分日之六百六十七为实星行次轮周数五为法除之得周率五百八十三日八十九刻九分零五秒四十五微三十六纤【即五百八十三日零十分日之九分三三四授时歴作五百八十三日九○二六】乃以每周三百六十度为实周率五百八十三日八十九刻九分零五秒四十五微三十六纤为法除之得三十六分五十九秒二十五微五十二纤一十六忽四十四芒为每日金星在次轮周之平行【一名伏见行】既得每日之平行用乘法可得每年每月之平行用除法可得每时每分之平行以立表
用金星距太阳前后极逺度求最髙及本轮均轮半径
测金星两心差之法与土木火三星不同盖土木火三星各有平行能与太阳冲故测三次冲日之度即可得两心差及最髙所在金星即以太阳之平行为平行星绕太阳旋转不得与太阳冲故必测其距太阳极逺之度先得最髙所在而后得两心差其本轮均轮之半径方可次第定焉其法于金星辰见时逐日测之取其距太阳极逺之度【星自合伏后距太阳渐逺至极逺又复渐近故须逐日测之方得其极逺之度也】夕见时亦逐日测之取其距太阳极逺之度但星距太阳极逺之度亦时时不同盖本天有髙卑平行【即轮心】近最髙则距地逺而角小平行近最卑则距地近而角大必择晨夕极逺度之相等者【如晨测距太阳四十七度夕测亦距四十七度】则其两平行距髙卑左右之度亦等爰以两平行所当宫度相加折半即最髙最卑线所当宫度然犹未能定其孰为最髙孰为最卑也乃再择晨见时或夕见时距太阳极逺之度以相较若平行所当宫度近最髙其相距极逺之度较小近最卑其相距极逺之度较大既得最髙而两心差可得矣【法见后】新法厯书载西人多録某于汉顺帝阳嘉三年甲戌测得最髙在大梁宫二十五度两心差为本天半径十万分之二千一百三十取其四分之三为本轮半径四分之一为均轮半径因其数与天行不合又改两心差为本天半径十万分之四千一百四十八逮后西人第谷又于明万厯十三年乙酉测得最髙在实沈宫二十九度一十六分三十九秒每年最髙行一分二十二秒五十七微定两心差为本天半径千万分之三十二万零八百一十四本轮半径为二十三万一千九百六十二【比四分之三小比三分之二大】均轮半径为八万八千八百五十二【比四分之一大比三分之一小】用其数推算均数与天行密合今仍用其数而述其测法如左
求最髙之法用晨夕两测
取其平行实行之大差相
等者用之假如第一次晨
测得金星实行在娵訾宫
八度二十三分四十七秒如
甲太阳平行在降娄宫二十
二度一十六分即金星之平
行如乙甲乙弧四十三度五
十二分一十三秒为平行实
行之大差第二次夕测得金
星实行在夀星宫二十五度
三十分一十三秒如丙太阳
平行在鹑尾宫一十一度三
十八分即金星之平行如丁
丁丙弧亦四十三度五十二
分一十三秒为平行实行之
大差两测平行实行之大差
既等则最髙最卑线必在两
平行宫度之中试取乙丁两
平行相距之弧折半于戊从
戊过地心
己至庚作戊庚线即为最髙
最卑线而不同心天之心必
在此线之上乃于戊庚线上
任取辛点为心作壬癸子丑
不同心天复从辛点作壬辛
丑辛两线与乙己丁巳平行
即以壬丑两点各为心作两
次轮切己甲线于寅切己丙
线于卯第一次晨测时次轮
心循不同心天行至壬以太
阳平行计之当恒星天之乙
故乙点为平行星循次轮周
行【乙距戊之度与壬距辰之度等】至寅从
地心己计之当恒星天之甲
故甲点为实行甲乙相距之
四十三度五十二分一十三
秒即癸己寅乙距戊之度与
壬距辰之度等
角第二次夕测时次轮心循
不同心天行至丑以太阳平
行计之当恒星天之丁故丁
点【丁距戊之度与丑距辰之度等】为平行
星循次轮周行至卯从地心
已计之当恒星天之丙故丙
点为实行丁丙相距之四十
三度五十二分一十三秒即
子己卯角此癸己寅及子己
卯两角之大小因平行距最
髙之逺近而殊盖平行距最
髙近则不同心天距地心之
线长而角小平行距最髙逺
则不同心天距地心之线短
而角大也今两已角既相等
则癸巳与子巳距地心之两
线必等而乙丁距戊之度与
丑距辰之度等
点与丁点距最髙之度亦必
等故以乙点之降娄宫二十
二度一十六分与丁点之鹑
尾宫一十一度三十八分相
加折半得鹑首宫一度五十
七分如戊其冲为星纪宫一
度五十七分如庚得戊庚为
最髙最卑之线也欲定其孰
为最髙须再测之假如再用
晨测得金星实行在星纪宫
一十四度一十八分三十三
秒如已太阳平行在娵訾宫
初度如午巳午弧四十五度
四十一分二十七秒为平行
实行之大差试从辛点作辛
未线与己午平行即以未点
为心作次
轮切己巳线于申次轮心循
不同心天行至未以太阳平
行计之当恒星天之午故午
点为平行星循次轮周行至
申从地心己计之当恒星天
之已故已点为实行已午相
距之四十五度四十一分二
十七秒即酉己申角此前所
测癸己寅角多一度四十九
分一十四秒夫先测之平行
乙点距鹑首宫戊点近而平
行实行之差少是近最髙而
差角小也后测之平行午点
距鹑首宫戊点逺而平行实
行之差多是逺最髙而差角
大也然则鹑首宫戊点为最
髙而星纪
宫庚点为最卑可知矣
求两心差之法亦用两测择
其平行度一当最髙一当最
卑而距太阳极逺者用之假
如太阳平行在鹑首宫一度
五十七分正当金星最髙之
点如戊于时测得金星实行
为鹑火宫一十六度二十二
分四十五秒如甲其平行实
行之差为四十四度二十五
分四十五秒即甲巳戊角又
于太阳平行在星纪宫一度
五十七分亦正当金星最卑
之点如庚于时测得金星实
行为大火宫一十三度四十
分零四秒如乙其平行实行
之差为四十
八度一十六分五十六秒即
乙己庚角乃以戊点为心切
己甲线于丙庚点为心切己
乙线于丁各作一金星次轮
又从戊点至丙庚点至丁作
两半径即成己丙戊己丁庚
两直角三角形用己丙戊直
角三角形求戊己边此形有
丙直角有己角四十四度二
十五分四十五秒命戊丙半
径为一○○○○○○○求
得戊巳边一四二八五一六
三又用己丁庚直角三角形
求己庚边此形有丁直角有
己角四十八度一十六分五
十六秒命庚丁半径为一○
○○○○
○○求得己庚边一三三九
七○七五以戊己与己庚相
加得戊庚二七六八二二三
八为本天全径半之得戊辛
或辛庚一三八四一一一九
为本天半径辛庚半径内减
去己庚一三三九七○七五
余辛巳四四四○四四为两
心差乃用比例法变先所得
之本天半径为同比例数以
先所得之本天半径一三八
四一一一九与先所得之两
心差四四四○四四之比即
同于今所设之本天半径一
○○○○○○○与今所得
之两心差之比而得三二○
八一五为
【两心差也】
求初均数
金星之初均数授时歴亦名盈缩差止用一表不分盈缩其最大者二度一三六三二一三八以周天三百六十度每度六十分约之得二度零九分二十二秒零六微新法厯书最大之初均数为一度五十分一十五秒四十防【秒有余即一度零十分度之八分三七六】惟星在次轮周之行度正当最逺最近二点之时止用此均数加减若在最逺最近前后仍有次均数之加减故此名初均数以别之
如图甲为地心即本天心乙丙丁为本天之一弧丙甲半径为一千万戊己庚为本轮戊丙半径为二十三万一千九百六十二戊为最髙庚为最卑辛壬癸
为均轮辛戊半径为八万八千八百五十二辛为最逺【八五二去本轮】癸为最近【心逺也去本轮】本轮心循本天右旋自乙而【心近也】丙而丁每日行五十九分零八【与太阳之平行同】即金星经度均轮心循本轮左旋自戊而己而庚每日亦行五十九分零八秒有余【微不及于经度之行每年少一分二十二秒五十七微】即自行引数次轮心则循均轮右旋自癸
而壬而辛每日行一度五十八分一十六秒有余为倍引数也
如均轮心在本轮之最髙戊为初宫初度则次轮心在均轮之最近癸或均轮心从本轮最髙戊向己行半周至最卑庚为六宫初度则次轮心亦从均轮最近癸歴壬辛行一周复至癸从地心甲计之俱成一直线无平行实行之差故
自行初宫初度及六宫初度俱无均数也
如均轮心从本轮最髙戊行三十度至子为一宫初度则次轮心从均轮最近癸行六十度至丑【丑癸弧为戊子弧之倍度】从地心甲计之当本天之寅寅丙弧为实行不及平行之度乃用丙癸卯直角三角形求癸卯卯丙二边此形有卯直角有丙
角三十度则癸角必六十度有癸丙边一十四万三十一百一十【本轮半径内减去均轮半径之数】求得癸卯边七万一千五百五十五卯丙边一十二万三千九百三十七以卯丙边与丙甲本天半径一千万相加得一千零一十二万三千九百三十七为卯甲边以癸卯边与丑癸通八
万八千八百五十二相加【即均轮丑癸弧六十度之通故与均轮半径等若非六十度则用比例法以半径一千万为一率均轮丑癸弧折半察正为二率均轮子癸半径为三率得四率倍之即丑癸通也】得一十六万零四百零七为丑卯边于是用甲丑卯直角三角形求得甲角五十四分三十秒即寅丙弧为自行一宫初度之初均数是为减差以减于平
行而得实行也【凡求得初均角即求得丑甲边为次轮心距地心之数存之为后求次均之用】若均轮心从最髙戊向己厯庚行三百三十度至辰为十一宫初度则次轮心从均轮最近癸行一周复自最近癸厯壬辛行三百度至已从地心甲计之当本天之午午丙弧与寅丙弧等故自行十一宫初度之初均数
与一宫初度等但为实行过于平行之度是为加差以加于平行而得实行也用此法求得最髙后三宫之减差【初宫初度至二宫末度】即得最髙前三宫之加差【九宫初度至十一宫末度】
如均轮心从本轮最髙戊行一百二十度至未为四宫初度则次轮心从均轮
最近癸厯壬辛行二百四十度至申从地心甲计之当本天之酉酉丙弧为实行不及平行之度乃用丙癸戌直角三角形求癸戌丙戌二边此形有戌直角有丙角六十度则癸角必三十度癸丙边为一十四万三千一百一十求得癸戌边一十二万三千九百三十七丙戌
边七万一千五百五十五以丙戌边与丙甲本天半径一千万相减余九百九十二万八千四百四十五为戌甲边以癸戌边与申癸通一十五万三千八百九十六相加【即均轮申癸弧一百二十度之通】得二十七万七千八百三十三为申戌边于是用甲申戌直角三角形求得甲角一
度三十六分一十一秒即酉丙弧为自行四宫初度之初均数是为减差以减于平行而得实行也若均轮心从最髙戊向己厯庚行二百四十度至亥为八宫初度则次轮心从均轮最近癸行一周复自癸厯壬行一百二十度至子从
地心甲计之当本天之丑丑丙弧与酉丙弧等故自行八宫初度之初均数与四宫初度等但为实行过于平行之度
是为加差以加于平行而得实行也用此法求得最卑前三宫之减差【三宫初度至五宫末度】即得最卑后三宫之加差【六宫初度至八宫末度】
求次均数
金星之次均数亦生于次轮但星在次轮周之行度土木火三星皆自最逺起算金星则自平逺起算盖土木火三星之次轮径线与地心参直其次轮周之最逺防有分定星在次轮周又行距日度最逺即为合伏最近即为退冲故从最逺起算金星之次轮径线不与地心参直而与本轮髙卑线平行【从地心过本轮心之线】其径线逺地心之端为平逺近地心之端为平近理与太阴次轮径线与均轮径线平行者同盖太阴次轮之逺近以距本轮心言则与均轮径线平行金星次轮之逺近以距地心言则与髙卑线平行故最逺防无定分而平逺防有定分又金星之本轮即以太阳本轮心为心星在次轮周自行伏见度其合伏退合亦不定在逺近二防故从平逺起算惟次轮心正当髙卑线上【即均轮心在最髙或最卑时】则平逺与最逺防合最髙后半周则平逺差而东最卑后半周则平逺差而西此两逺防之差即初均数然求次均数之法必以最逺防为起算之端故均轮心在最髙后半周初均数为减者则于伏见度内加初均数为星距次轮最逺之度【因其差而东也】均轮心在最卑后半周初均数为加者则于伏见度减去初均数为星距次轮最逺之度【因其差而西也】是金星在次轮周之行度虽自平逺起算而求次均数之法仍自最逺起算也新法厯书载西人多録某测得次轮半径为本天半径千万分之七百五十万九千八百其后西人第谷又改为本天半径千万分之七百二十二万四千八百五十今从之
如图甲为地心即本天心
乙丙丁为本天之一弧丙
甲为本天半径一千万戊
丙巳为本轮全径戊丙半
径为二十三万一千九百
六十二戊为最髙己为最
卑庚戊辛为均轮全径庚
戊半径为八万八千八百
五十二庚为最逺辛为最
近【此逺近以距本轮心言】壬辛癸为
次轮全径壬辛半径为七
百二十二万四千八百五
十壬为最逺癸为最近【此逺
近以距地心言】因均轮心在最髙
故平逺点与最逺点合而
壬亦即为平逺癸亦即为
平近本轮心从本天冬至
度右旋为经度【即太阳平行度】均
轮心从本轮最髙戊左旋
为引数【即自行度】次轮心从均
轮最近辛右旋为倍引数
星从次轮平逺点右旋行
伏见度如均轮心在本轮
最髙戊为自行初宫初度
次轮心在均轮最近辛星
在次轮之最逺壬或在次
轮之最近癸从地心甲计
之与轮心同在一直线故
无均数之加减过此二点
则星在次轮周之左右而
次均生矣
如均轮心从最髙戊行六
十度至子为自行二宫初
度次轮心则从均轮最近
辛行一百二十度至丑从
地心甲计之当本天之寅
其丙甲寅角一度三十四
分四十九秒【即寅丙弧】为初均
数卯为平逺辰为平近壬
为最逺癸为最近其平逺
距最逺之卯丑壬角亦一
度三十四分四十九秒【即壬
卯弧】与初均数丙甲寅角等
如星从平逺卯行三百五
十八度二十五分一十一
秒正当最逺壬或从平逺卯
行一百七十八度二十五分
一十一秒正当最近癸则与
次轮心丑同在一直线而无
次均数若星从次轮平逺卯
厯辰行三百二十度至已则
于卯癸辰巳弧三百二十度
加壬卯弧一度三十四分四
十九秒得壬卯癸辰巳弧三
百【分四十九】二十一度三十四
分四十九秒为星距次轮最
逺之度从地心甲计之当本
天之午其寅甲午角即次均
数乃用丑甲巳三角形求甲
角此形有丑角一百四十一
度三十四【秒即初均】分四十九
秒即初均数【数即午寅弧】即午寅弧于【于壬卯癸辰巳弧内减去
壬卯癸半周即得】有己丑半径七
百二十二万四千八百五十
有丑甲边一千零七万五千
三百八十七求得甲【求丑甲边法见
前求初均数篇】角一十五度五十
五分二十七秒即午寅弧为
次均数与初均数寅丙弧一
度三十四分四十九秒相加
得午丙弧一十【因初均寅点在平行
丙点之后而次均午点又在寅点之后故相加】七
度三十分一十六秒为实行
不及平行之度是为减差以
减于平行而得实行也若均
轮心从最髙戊厯己行三百
度至未为自行十宫初度次
轮心则从均轮最近辛行一
周复行二百四十度壬卯癸
半周即得求丑甲边法见前
至申星从次轮平逺卯行四
十度至酉则初均数丙甲戌
角与丙甲寅角等次均数戌
甲亥角与寅甲午角等两角
相加之丙甲亥角亦与丙甲
午角等但为实行过于平行
之度是为加差以加于平行
而得实行也如均轮心从最
髙戊【若测得平行实行之差及伏见度以推次
轮半径亦用丑甲巳三角形求之】
行一百二十度至子为自行
四宫初度次轮心则从均轮
最近辛行二百四十度至丑
从地心甲计之当本天之寅
其丙甲寅角一度三十六分
一十一秒为初均数卯为平
逺辰为平若测得平【即寅丙弧】行
实行之差及伏见度以推次
近壬为最逺癸为最近其平
逺距最逺之卯丑壬角亦一
度三十六分一十一秒与初
均【即壬卯弧】数丙甲寅角等如
星从平逺卯行三百五十八
度二十三分四十九秒正当
最逺壬或从平逺卯行一百
七十八度二十三分四十九
秒正当最近癸则与次轮心
丑同在一直线而无次均数
若星从次轮平逺卯行七十
度至已则于卯巳弧七十度
加壬卯弧一度三十六分一
十一秒得壬卯巳弧七十一
度三十六分【即初均数】一十一
秒为星距次轮最逺之度从
地心甲计之当即壬卯弧即
初均数
本天之午其寅甲午角即
次均数乃用丑甲巳三角
形求甲角【即寅午弧】此形有丑
角一百零八度二十三分
四十九秒【于壬卯巳癸半周内减去壬卯
巳弧即得】有己丑半径七百二
十二万四千八百五十有
丑甲边九百九十三万一
千五百一十求得甲角二
十九度一十八分三十六
秒即午寅弧为次均数与
初均数寅丙弧一度三十
六分一十一秒相减【因初均寅
点在平行丙点之后而次均午点在平行丙点之前
故相减】余丙午弧二十七度
四十二分二十五秒为实
行过于平行之度是为加
差以加于平行而得实行
也若均轮心从最髙戊歴
巳行二百四十度至未为
自行八宫初度次轮心则
从均轮最近辛行一周复
行一百二十度至申星从
次轮平逺卯行二百九十
度至酉则初均数丙甲戌
角与丙甲寅角等次均数
戌甲亥角与寅甲午角等
两角相减所余之丙甲亥
角亦与丙甲午角等但为
实行不及平行之度是为
减差以减于平行而得实
行也
御制歴象考成上编卷十三