朱世杰

朱世杰（1249年－1314年）元代数学家。燕山(今北京附近)人。他是中国古代少有的民间职业数学家与数学教育家，曾“以数学名家周游湖海二十余年”，在扬州讲学时，“踵门而学者云集”。他的《算学启蒙》(1299)是当时较为完备的数学教科书，从基本的记数方法、整数及分数运算、面积与体积计算，到当时先进的天元术，均包含于其中。书中的 “九归除法”与珠算中的九归口诀已经一致。他的《四元玉鉴》(1303)系统地论述了四元术、垛积术与招差术， 代表了中国传统代数学的最高成就。

四元术是宋元时期天元术的重要发展， 是可以处理多至4个未知数的多元高次方程组的一般方法， 包括多元高次方程组的建立，表示和消元方法。消元法是四元术的精华与核心。在西方，多元高次方程组的消元理论直到1779年才由法国数学家贝祖(Bezout， E’.)正式发表。

垛积术即高阶等差级数术和， 创始于沈括的隙积术。朱世杰深入研究了三角垛与四角垛两个基本的垛积系统， 其结果可概括为两个基本公式。

书中还研究了由三角垛与四角垛衍生出来的其他垛积系统。这些研究揭示了贾宪三角形(二项式系数表)的许多内在性质，朱世杰的工作，使垛积术成为中国古代数学中最精彩的内容之一。

招差术即内插法。隋刘焯、唐一行、元王恂先后研究过二、三次内插法，朱世杰全面总结了以往的工作，把垛积与招差视为 一对互逆的运算， 利用三角垛的结果建立了四次内插公式。从他的全部工作可以看出，他已经掌握了任意高次的内插公式， 即牛顿前向插值公式。

《四元玉鉴》是中国传统代数学的登峰造极之作。美国著名科学史家萨顿(Sarton，G.)对朱世杰的四元术评价说：“他解决此类问题的方法或许是中国数学最伟大的成就”，同时认为，《四元玉鉴》“是中国数学著作中最重要的一部， 同时也是中世纪最杰出的数学著作之一。”